{"id":3506,"date":"2026-06-21T07:01:47","date_gmt":"2026-06-21T07:01:47","guid":{"rendered":"https:\/\/gwits.pl\/?p=3506"},"modified":"2026-09-07T11:29:51","modified_gmt":"2026-09-07T11:29:51","slug":"1065545gwits20260601","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/gwits.pl\/en\/1065545gwits20260601\/","title":{"rendered":"Modele matematyczne wielkoskalowych zasobnik\u00f3w ciep\u0142a typu PTES \/Mathematical models of large-scale PTES thermal energy storages"},"content":{"rendered":"\n
\n\n\n\n

Hubert Pugacz\"ORCID<\/a> 1<\/sup><\/em><\/p>\n\n\n\n

Afiliacja<\/summary>\n

1<\/sup>  Wydzia\u0142 In\u017cynierii \u015arodowiska, Politechnika Warszawska
* Kontakt \/ Correspondence: hubert.pugacz@pw.edu.pl<\/a><\/p>\n<\/details>\n\n\n\n


DOI: 10.65545\/GWITS.2026.06.01<\/strong>, GWiTS 6\/2026, czerwiec 2026<\/p>\n\n\n\n

Pobierz PDF<\/a> (Open Access)<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

Streszczenie:<\/strong>
W artykule om\u00f3wiono modele matematyczne cieplnych wielkoskalowych zasobnik\u00f3w energii typu PTES (Pit Thermal Energy Storage) pracuj\u0105cych w warunkach nieustalonych. Om\u00f3wiono modele bilansowe, p\u00f3\u0142analityczne oraz uproszczone modele numeryczne. Przeanalizowano spos\u00f3b odwzorowania zjawisk przewodzenia, konwekcji, stratyfikacji termicznej oraz wymiany ciep\u0142a z gruntem. Wskazano zalety i ograniczenia poszczeg\u00f3lnych podej\u015b\u0107 w kontek\u015bcie dok\u0142adno\u015bci odwzorowania proces\u00f3w fizycznych, koszt\u00f3w obliczeniowych oraz mo\u017cliwo\u015bci zastosowania w projektowaniu i optymalizacji system\u00f3w magazynowania ciep\u0142a.<\/p>\n\n\n\n

S\u0142owa kluczowe:<\/strong> modelowanie numeryczne, analiza stanu nieustalonego, zasobniki ciep\u0142a, PTES, magazynowanie ciep\u0142a<\/em><\/em><\/p>\n\n\n\n

Abstract:
<\/strong>In the paper mathematical models used for the thermal analysis of large-scale Pit Thermal Energy Storage (PTES) systems operating under transient conditions have been described. Energy balance models, semi-analytical models, and simplified numerical models were discussed. The study analyzes the representation of heat conduction, convection, thermal stratification, and heat exchange with the surrounding ground. The advantages and limitations of the individual approaches were identified in terms of the accuracy of physical process representation, computational cost, and applicability in the design and optimization of thermal energy storage systems.<\/p>\n\n\n\n

Keywords: <\/strong>numerical modeling, transient-state analysis, thermal energy storage tanks, PTES, heat storage<\/em><\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

1. Wst\u0119p<\/h3>\n\n\n\n

Systemy magazynowania ciep\u0142a umo\u017cliwiaj\u0105 roz\u0142o\u017cone w czasie wykorzystywanie nadprodukowanego ciep\u0142a. Powszechno\u015b\u0107 zasobnik\u00f3w ciep\u0142a wzrasta wraz ze zwi\u0119kszaniem si\u0119 zainstalowanych mocy w intermituj\u0105cych \u017ar\u00f3d\u0142ach energii, przy kt\u00f3rych cz\u0119sto wyst\u0119puje niesp\u00f3jno\u015b\u0107 pomi\u0119dzy produkcj\u0105, a popytem. Magazynowanie energii jest r\u00f3wnie\u017c kluczowym elementem systemu w kontek\u015bcie optymalizacji koszt\u00f3w wytwarzania energii, poniewa\u017c umo\u017cliwia stabiln\u0105 prac\u0119 urz\u0105dze\u0144 wytw\u00f3rczych z najwy\u017csz\u0105 sprawno\u015bci\u0105. Dodatkow\u0105 korzy\u015bci\u0105 jest zmniejszenie wykorzystania paliw kopalnych. W zaawansowanych technologicznie systemach ciep\u0142owniczych Unii Europejskiej cz\u0119sto stosowane s\u0105 tzw. hybrydowe systemy magazynowania ciep\u0142a. Opieraj\u0105 si\u0119 one na wykorzystaniu kilku magazyn\u00f3w r\u00f3\u017cnego typu w jednym systemie ciep\u0142owniczym. W zale\u017cno\u015bci od produkcji ciep\u0142a oraz waha\u0144 poboru optymalne mog\u0105 by\u0107 magazyny o r\u00f3\u017cnym czasie magazynowania ciep\u0142a.<\/p>\n\n\n\n

2. Znaczenie modelowania numerycznego w analizie system\u00f3w magazynowania ciep\u0142a<\/h3>\n\n\n\n

Procesy zachodz\u0105ce w wielkoskalowych zasobnikach ciep\u0142a maj\u0105 charakter silnie nieustalony oraz obejmuj\u0105 jednoczesne wyst\u0119powanie przewodzenia, konwekcji i zjawisk wyporu cieplnego. Dodatkow\u0105 trudno\u015b\u0107 stanowi obecno\u015b\u0107 stratyfikacji termicznej oraz wymiana ciep\u0142a pomi\u0119dzy zasobnikiem a otoczeniem. Z\u0142o\u017cono\u015b\u0107 tych zjawisk powoduje, \u017ce analiza pracy zasobnik\u00f3w wymaga zastosowania zaawansowanych metod modelowania numerycznego. Wykorzystanie modelu numerycznego dok\u0142adnie opisuj\u0105cego magazyn ciep\u0142a pozwoli w procesie projektowania dobra\u0107 odpowiedni\u0105 pojemno\u015b\u0107, geometri\u0119 czy parametry pracy, kt\u00f3re umo\u017cliwi\u0105 popraw\u0119 sprawno\u015bci pracy systemu ciep\u0142owniczego. Modele numeryczne s\u0105 r\u00f3wnie\u017c podstaw\u0105 do oblicze\u0144 optymalizacyjnych, umo\u017cliwiaj\u0105 efektywniejsze zarz\u0105dzanie zasobnikiem. Najwa\u017cniejsz\u0105 przewag\u0105 nad badaniami eksperymentalnymi jest znacz\u0105co ni\u017cszy koszt wykonania analizy oraz uniwersalno\u015b\u0107 metody dla r\u00f3\u017cnych rozwi\u0105za\u0144 konstrukcyjnych. W zakresie magazynowania ciep\u0142a w zasobnikach typu TES, model numeryczny przedstawiony w [1] umo\u017cliwia analiz\u0119 rozk\u0142adu temperatury czynnika wewn\u0105trz zasobnika w funkcji czasu magazynowania. Zastosowanie tego modelu pozwala okre\u015bla\u0107 straty ciep\u0142a oraz co za tym idzie umo\u017cliwia wyznaczanie optymalnych okres\u00f3w magazynowania ciep\u0142a. Obecnie najszybciej rozwijaj\u0105cym si\u0119 typem zasobnik\u00f3w s\u0105 wielkoskalowe zasobniki ciep\u0142a zag\u0142\u0119bione w gruncie typu PTES (Pit Thermal Energy Storage). Jest to technologia magazynowania ciep\u0142a w zbiorniku wykopanym w gruncie. Najcz\u0119stszym medium magazynuj\u0105cym ciep\u0142o jest woda, cho\u0107 zdarzaj\u0105 si\u0119 r\u00f3wnie\u017c para wodna, \u017cwir. Geometri\u0119 zasobnik\u00f3w typu PTES uzale\u017cnia teren inwestycji oraz poziom zwierciad\u0142a w\u00f3d gruntowych, kt\u00f3re zaburzaj\u0105 prac\u0119 zasobnika. Celem modeli numerycznych opisuj\u0105cych zasobniki ciep\u0142a zag\u0142\u0119bione w gruncie typu PTES jest odwzorowanie zjawisk termicznych i hydraulicznych zachodz\u0105cych w zasobniku, jak i oddzia\u0142ywania zasobnika na otaczaj\u0105cy go grunt. W przypadku tego typu zasobnik\u00f3w, szczeg\u00f3lnego znaczenia nabieraj\u0105 zagadnienia zwi\u0105zane z analiz\u0105 proces\u00f3w cieplno-przep\u0142ywowych zachodz\u0105cych w warunkach silnie dynamicznych i nieustalonych. Proces \u0142adowania oraz roz\u0142adowania zasobnika obejmuje jednoczesne wyst\u0119powanie przewodzenia ciep\u0142a, konwekcji naturalnej i wymuszonej, zjawisk wyporu cieplnego, stratyfikacji termicznej oraz wymiany ciep\u0142a z otaczaj\u0105cym gruntem. Zjawiska te s\u0105 wzajemnie sprz\u0119\u017cone i zale\u017cne od czasu, co znacz\u0105co utrudnia ich analityczny opis. Ze wzgl\u0119du na wielkoskalowy charakter instalacji PTES, prowadzenie bada\u0144 eksperymentalnych jest procesem kosztownym oraz d\u0142ugotrwa\u0142ym. W rezultacie modelowanie numeryczne staje si\u0119 podstawowym narz\u0119dziem wykorzystywanym do projektowania, optymalizacji oraz oceny efektywno\u015bci sezonowych magazyn\u00f3w ciep\u0142a. Rozw\u00f3j metod numerycznych stosowanych w analizie zasobnik\u00f3w PTES doprowadzi\u0142 do powstania szerokiego spektrum modeli r\u00f3\u017cni\u0105cych si\u0119 zar\u00f3wno stopniem odwzorowania proces\u00f3w fizycznych, jak i wymaganiami obliczeniowymi. W literaturze spotykane s\u0105 mi\u0119dzy innymi modele bilansowe, modele warstwowe o skupionych parametrach, modele p\u00f3\u0142analityczne, a tak\u017ce wysokorozdzielcze modele CFD oparte na rozwi\u0105zywaniu r\u00f3wna\u0144 Naviera-Stokesa oraz r\u00f3wna\u0144 transportu energii. Modele wysokiej dok\u0142adno\u015bci umo\u017cliwiaj\u0105 szczeg\u00f3\u0142ow\u0105 analiz\u0119 lokalnych zjawisk cieplno-przep\u0142ywowych, takich jak degradacja stratyfikacji, wp\u0142yw dyfuzor\u00f3w, konwekcja naturalna czy oddzia\u0142ywanie przep\u0142ywu w\u00f3d gruntowych na bilans cieplny zasobnika. Jednocze\u015bnie ich zastosowanie wi\u0105\u017ce si\u0119 z bardzo du\u017cym kosztem obliczeniowym oraz konieczno\u015bci\u0105 stosowania zaawansowanych metod dyskretyzacji przestrzennej i czasowej. Z kolei modele uproszczone pozwalaj\u0105 na szybk\u0105 realizacj\u0119 analiz parametrycznych oraz wieloletnich symulacji pracy system\u00f3w energetycznych, jednak kosztem ograniczonej dok\u0142adno\u015bci odwzorowania lokalnych zjawisk fizycznych. W ostatnich latach obserwowany jest intensywny rozw\u00f3j metod hybrydowych oraz modeli zredukowanego rz\u0119du (Reduced-Order Models), kt\u00f3rych celem jest osi\u0105gni\u0119cie kompromisu pomi\u0119dzy dok\u0142adno\u015bci\u0105 numeryczn\u0105 a efektywno\u015bci\u0105 obliczeniow\u0105. Szczeg\u00f3lne znaczenie maj\u0105 r\u00f3wnie\u017c techniki wsp\u00f3\u0142symulacji (co-simulation), umo\u017cliwiaj\u0105ce sprz\u0119\u017cenie modeli CFD z dynamicznymi modelami system\u00f3w energetycznych. Podej\u015bcie takie pozwala na jednoczesn\u0105 analiz\u0119 lokalnych proces\u00f3w zachodz\u0105cych w zasobniku oraz wp\u0142ywu jego pracy na funkcjonowanie ca\u0142ego systemu ciep\u0142owniczego [2\u20138].<\/p>\n\n\n\n

3. Model numeryczny A. Dahash’a<\/h3>\n\n\n\n

Jednym z podstawowych podej\u015b\u0107 stosowanych w analizie dynamicznych proces\u00f3w cieplnych w zasobnikach energii jest modelowanie oparte na bilansie energii [1, 2]. Metody tego typu nale\u017c\u0105 do grupy modeli uproszczonych o skupionych parametrach, w kt\u00f3rych przestrze\u0144 obliczeniowa dzielona jest na ograniczon\u0105 liczb\u0119 warstw lub obj\u0119to\u015bci kontrolnych o jednorodnych w\u0142a\u015bciwo\u015bciach termicznych. Takie podej\u015bcie umo\u017cliwia opis zmian temperatury w funkcji czasu przy relatywnie niewielkich wymaganiach obliczeniowych. Modele bilansowe s\u0105 wykorzystywane w analizach systemowych oraz symulacjach d\u0142ugookresowych, szczeg\u00f3lnie w przypadkach wymagaj\u0105cych wielokrotnego wykonywania oblicze\u0144 parametrycznych. Ich istotn\u0105 zalet\u0105 pozostaje mo\u017cliwo\u015b\u0107 stosunkowo prostego odwzorowania proces\u00f3w \u0142adowania i roz\u0142adowania zasobnika przy zachowaniu akceptowalnej dok\u0142adno\u015bci predykcji globalnych parametr\u00f3w cieplnych. Jednocze\u015bnie modele tego typu posiadaj\u0105 ograniczon\u0105 zdolno\u015b\u0107 odwzorowania lokalnych zjawisk przep\u0142ywowych oraz szczeg\u00f3\u0142owej struktury pola temperatury wewn\u0105trz zasobnika. W analizowanym modelu numerycznym [7] przyj\u0119to jednowymiarowy opis procesu magazynowania ciep\u0142a z wykorzystaniem warstwowego podzia\u0142u obj\u0119to\u015bci zasobnika, wymiana energii pomi\u0119dzy s\u0105siednimi warstwami opisywana jest z wykorzystaniem r\u00f3wna\u0144 bilansu energii. Model uwzgl\u0119dnia podstawowe mechanizmy transportu ciep\u0142a, obejmuj\u0105ce przewodzenie pomi\u0119dzy warstwami, procesy zwi\u0105zane z \u0142adowaniem i roz\u0142adowaniem zasobnika oraz straty ciep\u0142a do otoczenia. Zastosowanie dyskretyzacji czasowej umo\u017cliwia analiz\u0119 nieustalonego charakteru proces\u00f3w cieplnych zachodz\u0105cych w zasobniku oraz wyznaczenie ewolucji pola temperatury podczas pracy instalacji.<\/p>\n\n\n\n

\"\"
Rys. 1. Schemat dwuwymiarowej domeny obliczeniowej zasobnika typu PTES zastosowanej w modelu [2]
Fig. 1. Schematic diagram of the two-dimensional computational domain of the PTES type container used in the model [2]<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n
3.1. Bilans masy<\/h5>\n\n\n\n

Bilans przep\u0142ywu masy dla pojedynczego segmentu obliczeniowego mo\u017cna zapisa\u0107 w postaci:<\/p>\n\n\n\n

\u03a3<\/mi><\/mrow>m<\/mi>\u02d9<\/mo><\/mover>i<\/mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub>=<\/mo>\u03a3<\/mi><\/mrow>m<\/mi>\u02d9<\/mo><\/mover>o<\/mi>u<\/mi>t<\/mi><\/mrow><\/msub>=<\/mo>\u03c1<\/mi>\u2219<\/mo> <\/mtext>V<\/mi>\u02d9<\/mo><\/mover><\/mspace>(<\/mo>1<\/mn>)<\/mo><\/mrow>\\mathrm{\\Sigma}{\\dot{m}}_{in}=\\mathrm{\\Sigma}{\\dot{m}}_{out}=\\rho\\bullet\\ \\dot{V} \\quad(1)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

gdzie:
min<\/sub>\u2013 masa czynnika wp\u0142ywaj\u0105ca do i-tego segmentu, kg
mout<\/sub> \u2013 masa czynnika wyp\u0142ywaj\u0105ca z i-tego segmentu, kg
\u03c1 \u2013 g\u0119sto\u015b\u0107 czynnika, kg\/m\u00b3
V \u2013 strumie\u0144 obj\u0119to\u015bciowy czynnika, m\u00b3\/h<\/p>\n\n\n\n

3.2. Bilans energii<\/h5>\n\n\n\n

Og\u00f3lny wz\u00f3r bilansu energii dla dowolnego segmentu:<\/p>\n\n\n\n

\u2202<\/mi>E<\/mi>i<\/mi><\/msub>(<\/mo>t<\/mi>)<\/mo><\/mrow>\u2202<\/mi>t<\/mi><\/mrow><\/mfrac>=<\/mo>\u03a3<\/mi><\/mrow>m<\/mi>\u02d9<\/mo><\/mover>i<\/mi><\/msub>\u2219<\/mo>h<\/mi>i<\/mi><\/msub>+<\/mo>(<\/mo>Q<\/mi>\u02d9<\/mo><\/mover>y<\/mi><\/msub>\u2212<\/mo>Q<\/mi>\u02d9<\/mo><\/mover>y<\/mi>+<\/mo>d<\/mi>y<\/mi><\/mrow><\/msub>)<\/mo><\/mrow>\u2212<\/mo>Q<\/mi>\u02d9<\/mo><\/mover>s<\/mi>t<\/mi>r<\/mi>,<\/mo>i<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mspace>(<\/mo>2<\/mn>)<\/mo><\/mrow>\\frac{\\partial E_i(t)}{\\partial t}=\\mathrm{\\Sigma}{\\dot{m}}_i\\bullet h_i+\\left({\\dot{Q}}_y-{\\dot{Q}}_{y+dy}\\right)-{\\dot{Q}}_{str,i} \\quad(2)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

gdzie:
mi<\/sub> hi <\/sub>\u2013 strumie\u0144 entalpii, kW
Qy<\/sub> – Qy+dy<\/sub> \u2013 przewodzenie ciep\u0142a pomi\u0119dzy segmentami, kW
Qstr,i<\/sub> \u2013 straty ciep\u0142a do otoczenia, kW<\/p>\n\n\n\n

Po wyprowadzeniu, r\u00f3wnanie przyjmuje posta\u0107:<\/p>\n\n\n\n

(<\/mo>\u03c1<\/mi>A<\/mi>i<\/mi><\/msub>c<\/mi>p<\/mi><\/msub>)<\/mo>\u2202<\/mi>T<\/mi>i<\/mi><\/msub><\/mrow>\u2202<\/mi>t<\/mi><\/mrow><\/mfrac>=<\/mo>\u03c1<\/mi>c<\/mi>p<\/mi><\/msub><\/mrow>\u2206<\/mtext>y<\/mi>i<\/mi><\/msub><\/mrow><\/mfrac>(<\/mo>(<\/mo>V<\/mi>\u02d9<\/mo><\/mover>y<\/mi><\/msub>\u2219<\/mo>T<\/mi>y<\/mi><\/msub>)<\/mo>\u2212<\/mo>(<\/mo>V<\/mi>\u02d9<\/mo><\/mover>y<\/mi>+<\/mo>d<\/mi>y<\/mi><\/mrow><\/msub>\u2219<\/mo>T<\/mi>y<\/mi>+<\/mo>d<\/mi>y<\/mi><\/mrow><\/msub>)<\/mo>)<\/mo>+<\/mo>\u03c1<\/mi>c<\/mi>p<\/mi><\/msub><\/mrow>\u2206<\/mtext>y<\/mi>i<\/mi><\/msub><\/mrow><\/mfrac>(<\/mo>(<\/mo>V<\/mi>\u02d9<\/mo><\/mover>i<\/mi>n<\/mi>,<\/mo>I<\/mi>I<\/mi><\/mrow><\/msub>\u2219<\/mo>T<\/mi>i<\/mi>n<\/mi>,<\/mo>I<\/mi>I<\/mi><\/mrow><\/msub>)<\/mo>\u2212<\/mo>(<\/mo>V<\/mi>\u02d9<\/mo><\/mover>o<\/mi>u<\/mi>t<\/mi>,<\/mo>I<\/mi>I<\/mi><\/mrow><\/msub>\u2219<\/mo>T<\/mi>i<\/mi><\/msub>)<\/mo>)<\/mo>+<\/mo>A<\/mi>i<\/mi><\/msub>\u2202<\/mi>\u2202<\/mi>y<\/mi>i<\/mi><\/msub><\/mrow><\/mfrac>(<\/mo>\u03bb<\/mi>w<\/mi><\/msub>\u2202<\/mi>T<\/mi>i<\/mi><\/msub><\/mrow>\u2202<\/mi>y<\/mi>i<\/mi><\/msub><\/mrow><\/mfrac>)<\/mo>\u2212<\/mo>q<\/mi>\u02d9<\/mo><\/mover>s<\/mi>t<\/mi>r<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mspace>(<\/mo>3<\/mn>)<\/mo><\/mrow>(\u03c1A_i c_p) \\frac{\u2202T_i}{\u2202t}= \\frac{\u03c1c_p}{\u2206y_i} ((\\dot{V}_y \\bullet T_y )-(\\dot{V}_{y+dy} \\bullet T_{y+dy} ))+ \\frac{\u03c1c_p}{\u2206y_i} ((\\dot{V}_{in,II} \\bullet T_{in,II} )-(\\dot{V}_{out,II}\u2219T_i )) +A_i \\frac{\u2202}{\u2202y_i} (\u03bb_w \\frac{\u2202T_i}{\u2202y_i})-\\dot{q}_{str} \\quad(3)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n
q<\/mi>\u02d9<\/mo><\/mover>s<\/mi>t<\/mi>r<\/mi><\/mrow><\/msub>=<\/mo>U<\/mi>s<\/mi>i<\/mi>d<\/mi>e<\/mi><\/mrow><\/msub>\u2219<\/mo>P<\/mi>i<\/mi><\/msub>\u2219<\/mo>(<\/mo>T<\/mi>i<\/mi><\/msub>(<\/mo>t<\/mi>)<\/mo><\/mrow>\u2212<\/mo>T<\/mi>g<\/mi>,<\/mo>i<\/mi><\/mrow><\/msub>(<\/mo>t<\/mi>)<\/mo><\/mrow>)<\/mo><\/mspace>(<\/mo>4<\/mn>)<\/mo><\/mrow>{\\dot{q}}_{str}=U_{side}\\bullet P_i\\bullet(T_i\\left(t\\right)-T_{g,i}\\left(t\\right)) \\quad(4)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

gdzie:
cp<\/sub> \u2013 ciep\u0142o w\u0142a\u015bciwe, kJ\/kgK
\u03bbw<\/sub>\u2013 wsp\u00f3\u0142czynnik przewodzenia ciep\u0142a, W\/mK
Uside<\/sub> \u2013 wsp\u00f3\u0142czynnik przenikania ciep\u0142a, W\/m2K
Pi<\/sub> \u2013 d\u0142ugo\u015b\u0107 strefy przenikania ciep\u0142a, m<\/p>\n\n\n\n

W wielkoskalowych zasobnikach ciep\u0142a zag\u0142\u0119bionych w gruncie najcz\u0119\u015bciej stosuje si\u0119 uk\u0142ad dw\u00f3ch dyfuzor\u00f3w, odpowiadaj\u0105cych za doprowadzanie oraz odbi\u00f3r czynnika roboczego. Przy takim rozwi\u0105zaniu mo\u017cna przyj\u0105\u0107, \u017ce strumie\u0144 obj\u0119to\u015bciowy wp\u0142ywaj\u0105cy do zasobnika jest r\u00f3wny strumieniowi odp\u0142ywaj\u0105cemu (Vin,II<\/sub> = Vout,II<\/sub>) . W okresie magazynowania energii cieplnej, gdy przep\u0142yw przez uk\u0142ad dyfuzor\u00f3w nie wyst\u0119puje (Vin,II<\/sub> = Vout,II<\/sub> = 0), ruch czynnika wewn\u0105trz zasobnika jest znacz\u0105co ograniczony. W takich warunkach dominuj\u0105cym mechanizmem transportu energii staj\u0105 si\u0119 procesy zwi\u0105zane z oddzia\u0142ywaniem si\u0142 wyporu wynikaj\u0105cych ze zmian g\u0119sto\u015bci medium magazynuj\u0105cego ciep\u0142o. Istotnym zagadnieniem eksploatacyjnym pozostaj\u0105 straty ciep\u0142a wyst\u0119puj\u0105ce w g\u00f3rnej cz\u0119\u015bci zasobnika. Intensywna wymiana ciep\u0142a przez pokryw\u0119 mo\u017ce prowadzi\u0107 do lokalnego obni\u017cenia temperatury w przypowierzchniowej warstwie wody. W rezultacie mo\u017ce doj\u015b\u0107 do zaburzenia naturalnej stratyfikacji termicznej oraz powstania zjawiska okre\u015blanego jako odwr\u00f3cona termoklina [2-6].<\/p>\n\n\n\n

W celu ograniczenia b\u0142\u0119d\u00f3w obliczeniowych zwi\u0105zanych z odwr\u00f3con\u0105 termoklin\u0105 w metodzie Dahasha stosuje si\u0119 poni\u017cszy wz\u00f3r, gdzie zwi\u0119kszona przewodno\u015b\u0107 cieplna jest uzale\u017cniona od liczny Nusselta i Rayleigha:<\/p>\n\n\n\n

\u03bb<\/mi>i<\/mi><\/msub>\u2219<\/mo>\u2202<\/mi>\u2202<\/mi>y<\/mi>i<\/mi><\/msub><\/mrow><\/mfrac>\u2219<\/mo>(<\/mo>\u03bb<\/mi>w<\/mi><\/msub>\u2202<\/mi>T<\/mi>i<\/mi><\/msub><\/mrow>\u2202<\/mi>y<\/mi>i<\/mi><\/msub><\/mrow><\/mfrac>)<\/mo>=<\/mo>{<\/mo>A<\/mi>i<\/mi><\/msub>\u2219<\/mo>\u2202<\/mi>\u2202<\/mi>y<\/mi>i<\/mi><\/msub><\/mrow><\/mfrac>\u2219<\/mo>(<\/mo>\u03bb<\/mi>w<\/mi><\/msub>\u2202<\/mi>T<\/mi>i<\/mi><\/msub><\/mrow>\u2202<\/mi>y<\/mi>i<\/mi><\/msub><\/mrow><\/mfrac>)<\/mo>,<\/mo><\/mrow><\/mtd>a<\/mi>m<\/mi>p<\/mi>;<\/mo>V<\/mi>\u02d9<\/mo><\/mover>w<\/mi><\/msub>\u2260<\/mo>0<\/mn>,<\/mo><\/mrow><\/mtd><\/mtr>A<\/mi>i<\/mi><\/msub>\u2219<\/mo>\u2202<\/mi>\u2202<\/mi>y<\/mi>i<\/mi><\/msub><\/mrow><\/mfrac>\u2219<\/mo>(<\/mo>\u03bb<\/mi>w<\/mi>,<\/mo><\/mtext>enh<\/mi><\/mrow><\/mrow><\/msub>\u2219<\/mo>\u2202<\/mi>T<\/mi>i<\/mi><\/msub><\/mrow>\u2202<\/mi>y<\/mi>i<\/mi><\/msub><\/mrow><\/mfrac>)<\/mo>,<\/mo><\/mrow><\/mtd>a<\/mi>m<\/mi>p<\/mi>;<\/mo>V<\/mi>\u02d9<\/mo><\/mover>w<\/mi><\/msub>=<\/mo>0<\/mn>\u2227<\/mo>\u2202<\/mi>T<\/mi>i<\/mi><\/msub><\/mrow>\u2202<\/mi>y<\/mi>i<\/mi><\/msub><\/mrow><\/mfrac><\/mstyle><\/mrow><\/mtd>l<\/mi>t<\/mi>;<\/mo>0<\/mn><\/mrow><\/mtd><\/mtr><\/mtable>}<\/mo><\/mrow><\/mspace>(<\/mo>6<\/mn>)<\/mo><\/mrow>\\lambda_i\\bullet \\frac{\\partial}{\\partial y_i} \\bullet\n( \\lambda_w \\frac{\\partial T_i}{\\partial y_i} )\n=\n\\left\\{\n\\begin{array}{ll}\nA_i \\bullet \\frac{\\partial}{\\partial y_i} \\bullet\n( \\lambda_w \\frac{\\partial T_i}{\\partial y_i} ),\n&amp; \\dot{V}_w \\neq 0, \\\\[6pt]\n\nA_i \\bullet \\frac{\\partial}{\\partial y_i} \\bullet\n( \\lambda_{w,\\mathrm{enh}} \\bullet \\frac{\\partial T_i}{\\partial y_i} ),\n&amp; \\dot{V}_w = 0 \\land \\dfrac{\\partial T_i}{\\partial y_i} &lt; 0\n\\end{array}\n\\right\\} \\quad(6)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n
\u03bb<\/mi>w<\/mi>,<\/mo>e<\/mi>n<\/mi>h<\/mi><\/mrow><\/msub>=<\/mo>\u03bb<\/mi>w<\/mi><\/msub>\u2219<\/mo> <\/mtext>N<\/mi>u<\/mi><\/mspace>(<\/mo>7<\/mn>)<\/mo><\/mrow>\\lambda_{w,enh}=\\lambda_w\\bullet\\ Nu \\quad(7)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

Liczba Nusselta opisana jest z wykorzystaniem dw\u00f3ch sta\u0142ych C oraz k, kt\u00f3re s\u0105 wyznaczane eksperymentalnie.<\/p>\n\n\n\n

N<\/mi>u<\/mi>=<\/mo>C<\/mi> <\/mtext>\u2219<\/mo> <\/mtext>R<\/mi>a<\/mi><\/mrow>k<\/mi><\/msup><\/mspace>(<\/mo>8<\/mn>)<\/mo><\/mrow>Nu=C\\ \\bullet\\ {Ra}^k \\quad(8)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n
R<\/mi>a<\/mi>=<\/mo>(<\/mo>g<\/mi>\u03b2<\/mi>\u2219<\/mo>\u2206<\/mtext>T<\/mi>\u2219<\/mo>y<\/mi>3<\/mn><\/msup>)<\/mo><\/mrow>\u03bd<\/mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/mspace>(<\/mo>9<\/mn>)<\/mo><\/mrow>Ra=\\frac{(g\u03b2\u2219\u2206T\u2219y^3)}{\u03bd\u03b1} \\quad(9)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

gdzie:
g- przy\u015bpieszenie ziemskie, m\/s2<\/sup>
\u03b2 \u2013 wsp\u00f3\u0142czynnik rozszerzalno\u015bci cieplnej, 1\/K
\u03bd \u2013 wsp\u00f3\u0142czynnik lepko\u015bci kinematycznej, m2<\/sup>\/s
\u03b1 \u2013 wsp\u00f3\u0142czynnik dyfuzyjno\u015bci cieplnej, kW\/mK
\u0394T \u2013 r\u00f3\u017cnica temperatur s\u0105siaduj\u0105cych segment\u00f3w, K<\/p>\n\n\n\n

Po przekszta\u0142ceniu powy\u017cszego, autorzy modelu uzyskali:<\/p>\n\n\n\n

\u03bb<\/mi>w<\/mi>,<\/mo>e<\/mi>n<\/mi>h<\/mi><\/mrow><\/msub>=<\/mo>C<\/mi>\u2219<\/mo>(<\/mo>\u2202<\/mi>T<\/mi>i<\/mi><\/msub><\/mrow>\u2202<\/mi>y<\/mi>i<\/mi><\/msub><\/mrow><\/mfrac>)<\/mo><\/mrow>k<\/mi><\/msup><\/mspace>(<\/mo>10<\/mn>)<\/mo><\/mrow>\\lambda_{w,enh}=C\\bullet{(\\frac{\\partial T_i}{\\partial y_i})}^k \\quad(10)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

gdzie:
C \u2013 sta\u0142a, kt\u00f3ra \u0142\u0105czy r\u00f3\u017cne parametry wymiarowe (np. obj\u0119to\u015b\u0107, wysoko\u015b\u0107) z w\u0142a\u015bciwo\u015bciami termofizycznymi (np. g\u0119sto\u015b\u0107, pojemno\u015b\u0107 cieplna w\u0142a\u015bciwa, wsp\u00f3\u0142czynnik rozszerzalno\u015bci cieplnej)
k \u2013 dostosowywany w zale\u017cno\u015bci od zastosowania (w opisanym w modelu przypadku k = 0,5)<\/p>\n\n\n\n

Wymiana ciep\u0142a zachodz\u0105ca r\u00f3wnie\u017c w gruncie jest opisana nast\u0119puj\u0105cym r\u00f3wnaniem:<\/p>\n\n\n\n

(<\/mo>\u03c1<\/mi><\/mrow>g<\/mi><\/msub>\u2219<\/mo>c<\/mi>p<\/mi>,<\/mo>g<\/mi><\/mrow><\/msub>)<\/mo>\u2219<\/mo>\u2202<\/mi>T<\/mi><\/mrow>g<\/mi><\/msub>(<\/mo>t<\/mi>)<\/mo><\/mrow>\u2202<\/mi>t<\/mi><\/mrow><\/mfrac>=<\/mo>\u2207<\/mo>\u2219<\/mo>(<\/mo>\u03bb<\/mi>g<\/mi><\/msub>\u2219<\/mo>\u2207<\/mo>T<\/mi>g<\/mi><\/msub>)<\/mo><\/mspace>(<\/mo>11<\/mn>)<\/mo><\/mrow>{(\\rho}_g \\bullet c_{p,g}) \\bullet \\frac{{\\partial T}_g(t)}{\\partial t}=\\nabla\\bullet(\\lambda_g \\bullet\\nabla T_g) \\quad(11)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

gdzie:
\u03c1g<\/sub> \u2013 g\u0119sto\u015b\u0107 gruntu, kg\/m3<\/sup>
cp,g<\/sub> \u2013 ciep\u0142o w\u0142a\u015bciwe gruntu przy sta\u0142ym ci\u015bnieniu, J\/(kg\u22c5K)
Tg<\/sub> \u2013 temperatura gruntu, \u00b0 C
t \u2013 czas, s
\u03bbg<\/sub> \u2013 wsp\u00f3\u0142czynnik przewodzenia ciep\u0142a dla gruntu, W\/(m\u22c5K)<\/p>\n\n\n\n

Model opracowany przez zesp\u00f3\u0142 A. Dahasha opiera si\u0119 na jednowymiarowym podziale domeny obliczeniowej na poziome
warstwy o zmiennej szeroko\u015bci wynikaj\u0105cej z geometrii zasobnika. Wysoko\u015b\u0107 poszczeg\u00f3lnych segment\u00f3w stanowi parametr dyskretyzacji przestrzennej i wp\u0142ywa bezpo\u015brednio na rozdzielczo\u015b\u0107 numeryczn\u0105 rozwi\u0105zania. W modelu uwzgl\u0119dniono transport energii pomi\u0119dzy s\u0105siednimi warstwami oraz straty ciep\u0142a do otoczenia. Istotnym problemem modelu pozostaje jednak spos\u00f3b wyznaczania parametr\u00f3w korelacyjnych wykorzystywanych w r\u00f3wnaniu liczby Nusselta. W analizowanych publikacjach nie przedstawiono jednoznacznej procedury okre\u015blania wsp\u00f3\u0142czynnik\u00f3w C oraz k, mimo \u017ce maj\u0105 one bezpo\u015bredni wp\u0142yw na intensywno\u015b\u0107 modelowanego transportu ciep\u0142a. Dodatkowo warto\u015bci tych parametr\u00f3w r\u00f3\u017cni\u0105 si\u0119 pomi\u0119dzy poszczeg\u00f3lnymi opracowaniami, co wskazuje na ich zale\u017cno\u015b\u0107 od warunk\u00f3w geometrycznych oraz parametr\u00f3w pracy analizowanego zasobnika. W praktyce oznacza to konieczno\u015b\u0107 indywidualnej kalibracji modelu dla ka\u017cdej analizowanej konfiguracji. Przyj\u0119cie sta\u0142ej temperatury w obr\u0119bie pojedynczej warstwy stanowi kolejne uproszczenie modelu. Podej\u015bcie takie ogranicza mo\u017cliwo\u015b\u0107 odwzorowania lokalnych gradient\u00f3w temperatury oraz szczeg\u00f3\u0142owej struktury pola cieplnego, szczeg\u00f3lnie w rejonie termokliny. Model nie umo\u017cliwia r\u00f3wnie\u017c bezpo\u015bredniej analizy lokalnych zjawisk przep\u0142ywowych, poniewa\u017c efekty konwekcyjne uwzgl\u0119dniane s\u0105 wy\u0142\u0105cznie po\u015brednio poprzez korekt\u0119 efektywnego wsp\u00f3\u0142czynnika przewodzenia ciep\u0142a. Dok\u0142adno\u015b\u0107 uzyskiwanych wynik\u00f3w zale\u017cy przede wszystkim od przyj\u0119tego podzia\u0142u warstwowego oraz jako\u015bci danych wykorzystywanych podczas kalibracji modelu, co jest wnioskiem identycznym do postawionego w [1] dotycz\u0105cego modelowania zasobnik\u00f3w typu TES. Pomimo przyj\u0119tych uproszcze\u0144 model umo\u017cliwia efektywn\u0105 analiz\u0119 globalnego bilansu energetycznego zasobnika przy relatywnie niskim koszcie obliczeniowym.<\/p>\n\n\n\n

4. Model p\u00f3\u0142analityczny M.Gao<\/h3>\n\n\n\n

Model p\u00f3\u0142analityczny stanowi rozwini\u0119cie metod uproszczonego modelowania proces\u00f3w cieplnych zachodz\u0105cych w wielkoskalowych zasobnikach typu PTES. Implementacja modelu zosta\u0142a wykonana w \u015brodowisku TRNSYS z wykorzystaniem metody r\u00f3\u017cnic sko\u0144czonych do dyskretyzacji r\u00f3wnania bilansu energii. Podej\u015bcie zaproponowane przez autor\u00f3w opiera si\u0119 na po\u0142\u0105czeniu numerycznej dyskretyzacji domeny obliczeniowej z rozwi\u0105zaniami analitycznymi wykorzystywanymi do opisu przewodzenia ciep\u0142a w gruncie otaczaj\u0105cym zasobnik. Zastosowanie p\u00f3\u0142analitycznej struktury modelu umo\u017cliwia ograniczenie kosztu obliczeniowego przy jednoczesnym zachowaniu zdolno\u015bci odwzorowania d\u0142ugookresowych proces\u00f3w wymiany ciep\u0142a pomi\u0119dzy zasobnikiem a otaczaj\u0105cym \u015brodowiskiem gruntowym.<\/p>\n\n\n\n

W modelu przyj\u0119to podzia\u0142 zasobnika oraz otaczaj\u0105cych warstw gruntu na segmenty obliczeniowe, dla kt\u00f3rych wyznaczane s\u0105 zmiany temperatury w kolejnych krokach czasowych. Szczeg\u00f3ln\u0105 uwag\u0119 po\u015bwi\u0119cono odwzorowaniu dyfuzji cieplnej w gruncie, maj\u0105cej istotny wp\u0142yw na d\u0142ugoterminow\u0105 sprawno\u015b\u0107 magazynowania energii. Do oceny przebiegu nieustalonego transportu ciep\u0142a autorzy wykorzystali liczb\u0119 Fouriera, stanowi\u0105c\u0105 bezwymiarowy parametr opisuj\u0105cy relacj\u0119 pomi\u0119dzy czasem trwania procesu a zdolno\u015bci\u0105 o\u015brodka do przewodzenia ciep\u0142a. Poprawno\u015b\u0107 dzia\u0142ania modelu zosta\u0142a zweryfikowana przez autor\u00f3w z wykorzystaniem danych eksploatacyjnych pochodz\u0105cych z rzeczywistego zasobnika PTES zlokalizowanego w Dronninglund. Przeprowadzona walidacja umo\u017cliwi\u0142a ocen\u0119 zdolno\u015bci modelu do odwzorowania zmian temperatury oraz strat cieplnych wyst\u0119puj\u0105cych podczas d\u0142ugookresowej pracy instalacji.<\/p>\n\n\n\n

\"\"
Rys. 2. Podzia\u0142 na regiony wymiany ciep\u0142a [7]
Fig. 2. Heat exchange regions [7]<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n
\"\"
Rys. 3. Oznaczenia w\u0119z\u0142\u00f3w w zale\u017cno\u015bci od pionowego i poziomego po\u0142o\u017cenia wzgl\u0119dem w\u0119z\u0142a j [7]
Fig. 3. Node designations depending on the vertical and horizontal position relative to node j [7]<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Uproszczenia zastosowane w modelu:<\/p>\n\n\n\n

    \n
  • sta\u0142e w\u0142a\u015bciwo\u015bci fizyczne wody oraz gruntu,<\/li>\n\n\n\n
  • w gruncie uwzgl\u0119dnia si\u0119 wy\u0142\u0105cznie przewodzenie ciep\u0142a, wp\u0142yw przep\u0142ywu w\u00f3d gruntowych i naturalnej konwekcji jest pomijany,<\/li>\n\n\n\n
  • pomijane jest konwekcyjne przenoszenie ciep\u0142a wewn\u0105trz zasobnika, wsp\u00f3\u0142czynnik mieszania inwersyjnego uproszczono do sta\u0142ej,<\/li>\n\n\n\n
  • za\u0142o\u017cono magazyn i obszar gleby jako symetryczne, ma to na celu pomini\u0119cie efektu anizotropii,<\/li>\n\n\n\n
  • lepkie rozpraszanie si\u0119 p\u0142ynu jest pomijane,<\/li>\n\n\n\n
  • temperatura pocz\u0105tkowa w\u0119z\u0142a jest sta\u0142\u0105 u\u015brednion\u0105 dla jednego kroku czasowego.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
    4.1. Wyznaczenie wsp\u00f3\u0142czynnika przenikania ciep\u0142a<\/h5>\n\n\n\n

    Ze wzgl\u0119du na brak izolacji pomi\u0119dzy zasobnikiem a gleb\u0105,
    wsp\u00f3\u0142czynnik przenikania ciep\u0142a jest okre\u015blany na podstawie konwekcji po stronie wody oraz przewodzenia po stronie gleby. Pomini\u0119to konwekcj\u0119 wymuszon\u0105.<\/p>\n\n\n\n

    U<\/mi>=<\/mo>A<\/mi>m<\/mi>e<\/mi>a<\/mi><\/mrow><\/msub>A<\/mi>s<\/mi>i<\/mi>m<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mfrac>\u2219<\/mo>1<\/mn>1<\/mn>h<\/mi>w<\/mi><\/msub><\/mfrac>+<\/mo>\u03b4<\/mi>H<\/mi>D<\/mi>P<\/mi>E<\/mi><\/mrow>\u03bb<\/mi>H<\/mi>D<\/mi>P<\/mi>E<\/mi><\/mrow><\/mfrac>+<\/mo>\u03b4<\/mi>g<\/mi>e<\/mi>o<\/mi><\/mrow>\u03bb<\/mi>g<\/mi>e<\/mi>o<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/mrow><\/mfrac><\/mspace>(<\/mo>12<\/mn>)<\/mo><\/mrow>U=\\frac{A_{mea}}{A_{sim}}\\bullet\\frac{1}{\\frac{1}{h_w}+\\frac{\\delta HDPE}{\\lambda HDPE}+\\frac{\\delta geo}{\\lambda geo}} \\quad(12)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

    gdzie:
    U \u2013 wsp\u00f3\u0142czynnik przenikania ciep\u0142a, W\/m2<\/sup>K
    Amea<\/sub>, Asim<\/sub> \u2013 powierzchnia rzeczywista oraz symulowana, m2<\/sup>
    hw<\/sub> \u2013 wsp\u00f3\u0142czynnik przejmowania ciep\u0142a po stronie wody, W\/m2<\/sup>K
    \u03b4HDPE, \u03b4geo \u2013 grubo\u015b\u0107 warstw HDPE oraz geow\u0142\u00f3kniny, m
    \u03bbHDPE, \u03bbgeo \u2013 wsp\u00f3\u0142czynniki przewodzenia cieplnego HDPE i geow\u0142\u00f3kniny, W\/mK<\/p>\n\n\n\n

    h<\/mi>w<\/mi><\/msub>=<\/mo> <\/mtext>0.6<\/mn>\u03bb<\/mi>w<\/mi><\/msub><\/mrow>H<\/mi><\/mfrac>\u2219<\/mo>(<\/mo>G<\/mi>r<\/mi>\u2219<\/mo>P<\/mi>r<\/mi>)<\/mo><\/mrow>1<\/mn>3<\/mn><\/mfrac><\/msup><\/mspace>(<\/mo>13<\/mn>)<\/mo><\/mrow>h_w=\\ \\frac{0.6\\lambda_w}{H}\\bullet{(Gr\\bullet P r)}^\\frac{1}{3} \\quad(13)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n
    G<\/mi>r<\/mi>=<\/mo> <\/mtext>g<\/mi>\u2219<\/mo>\u03b2<\/mi>w<\/mi><\/msub>\u2219<\/mo>(<\/mo>T<\/mi>g<\/mi>e<\/mi>o<\/mi><\/mrow><\/msub>\u2212<\/mo>T<\/mi>w<\/mi><\/msub>)<\/mo>\u2219<\/mo>D<\/mi>3<\/mn><\/msup><\/mrow>64<\/mn>\u2219<\/mo>\u03bd<\/mi>w<\/mi>2<\/mn><\/msubsup><\/mrow><\/mfrac><\/mspace>(<\/mo>14<\/mn>)<\/mo><\/mrow>Gr=\\ \\frac{g\\bullet\\beta_w\\bullet(T_{geo}-T_w)\\bullet D^3}{64\\bullet\\nu_w^2} \\quad(14)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

    gdzie:
    hw<\/sub> \u2013 wsp\u00f3\u0142czynnik przejmowania ciep\u0142a po stronie wody, Wm2<\/sup>K
    \u03bbw<\/sub> \u2013 wsp\u00f3\u0142czynniki przewodzenia cieplnego wody, W\/mK
    H \u2013 wysoko\u015b\u0107 \u015bciany bocznej, m
    Gr \u2013 liczba Grashofa
    Pr \u2013 liczba Prandtla
    g \u2013 wsp\u00f3\u0142czynnik przy\u015bpieszenia ziemskiego, m\/s2<\/sup>
    Bw<\/sub> \u2013 wsp\u00f3\u0142czynnik rozszerzalno\u015bci obj\u0119to\u015bciowej, 1\/K
    Tgeo<\/sub> \u2013 temperatura geow\u0142\u00f3kniny, \u00b0C
    Tw<\/sub> \u2013 temperatura wody w zasobniku, \u00b0C
    D \u2013 ekwiwalentna \u015brednica \u015bciany bocznej, m
     \u03bd \u2013 wsp\u00f3\u0142czynnik kinematycznej lepko\u015bci wody, m2<\/sup>\/s<\/p>\n\n\n\n

    4.2. Wymiana ciep\u0142a w regionie magazynowania wody (Region V)<\/h5>\n\n\n\n

    Region V w zasobniku modelowany jest za pomoc\u0105 jednowymiarowego r\u00f3wnania przewodzenia ciep\u0142a. Za\u0142o\u017cono, \u017ce r\u00f3wnanie przewodzenia zostanie zapisane w jawnej centralnej postaci r\u00f3\u017cnicowej jak przedstawiono poni\u017cej. Dodatkowo sk\u0142adnik nieustalony jest pierwszego rz\u0119du, a sk\u0142adnik dyfuzyjny drugiego rz\u0119du.<\/p>\n\n\n\n

    \u03c1<\/mi>w<\/mi><\/msub>C<\/mi>p<\/mi><\/msub>V<\/mi>j<\/mi><\/msub>(<\/mo>T<\/mi>j<\/mi>t<\/mi>+<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msubsup>\u2212<\/mo>T<\/mi>j<\/mi>t<\/mi><\/msubsup>)<\/mo><\/mrow><\/mtext>\u0394t<\/mi><\/mrow><\/mfrac>=<\/mo> <\/mtext>K<\/mi>j<\/mi>+<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msub>(<\/mo>T<\/mi>j<\/mi>+<\/mo>1<\/mn><\/mrow>t<\/mi><\/msubsup>\u2212<\/mo>T<\/mi>j<\/mi>t<\/mi><\/msubsup>)<\/mo><\/mrow>+<\/mo>K<\/mi>j<\/mi>\u2212<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msub>(<\/mo>T<\/mi>j<\/mi>\u2212<\/mo>1<\/mn><\/mrow>t<\/mi><\/msubsup>\u2212<\/mo>T<\/mi>j<\/mi>t<\/mi><\/msubsup>)<\/mo><\/mrow>+<\/mo>U<\/mi>B<\/mi><\/msub>A<\/mi>j<\/mi><\/msub>(<\/mo>T<\/mi>B<\/mi>t<\/mi><\/msubsup>\u2212<\/mo>T<\/mi>j<\/mi>t<\/mi><\/msubsup>)<\/mo><\/mrow>+<\/mo>S<\/mi>T<\/mi><\/msub><\/mspace>(<\/mo>15<\/mn>)<\/mo><\/mrow>\\frac{\\rho_wC_pV_j(T_j^{t+1}-T_j^t)}{\\mathrm{\\Delta t}}=\\ K_{j+1}\\left(T_{j+1}^t-T_j^t\\right)+K_{j-1}\\left(T_{j-1}^t-T_j^t\\right)+U_BA_j\\left(T_B^t-T_j^t\\right)+S_T \\quad(15)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

    \\rho_w\u2013 g\u0119sto\u015b\u0107 wody, kg\/m3<\/sup>
    Cp<\/sub> \u2013 ciep\u0142o w\u0142a\u015bciwe wody, J\/kgK
    Vj<\/sub> \u2013 obj\u0119to\u015b\u0107 przypisana do j-tego w\u0119z\u0142a, m3<\/sup>
    Tj<\/sub>t+1<\/sup> \u2013 temperatura w\u0119z\u0142a j w chwili t+1, K
    \u0394t \u2013 krok czasowy, s
    Kj+1<\/sub> \u2013 wsp\u00f3\u0142czynnik przewodzenia ciep\u0142a pomi\u0119dzy w\u0119z\u0142ami j oraz j+1, W\/K
    UB<\/sub> \u2013 wsp\u00f3\u0142czynnik konwekcji na powierzchni granicznej, W\/m2<\/sup>K
    Aj<\/sub> \u2013 powierzchnia wymiany ciep\u0142a w w\u0119\u017ale j, m2<\/sup>
    TB<\/sub>t<\/sup> \u2013 temperatura warstwy granicznej, K
    ST<\/sub> \u2013 \u017ar\u00f3d\u0142o ciep\u0142a (dop\u0142yw gor\u0105cej wody), W<\/p>\n\n\n\n

    W modelu przedstawione zosta\u0142y r\u00f3wnania s\u0142u\u017c\u0105ce do wyznaczenia Aj<\/sub>, Kj<\/sub>+1 oraz ST<\/sub>.<\/p>\n\n\n\n

    A<\/mi>s<\/mi>i<\/mi>d<\/mi>e<\/mi>,<\/mo>j<\/mi><\/mrow><\/msub>=<\/mo>1<\/mn>2<\/mn><\/mfrac>\u03c0<\/mi>\u2219<\/mo>\u2206<\/mtext>r<\/mi>j<\/mi><\/msub>\u2219<\/mo>\u221a<\/mtext>(<\/mo>\u2206<\/mtext>y<\/mi>j<\/mi>2<\/mn><\/msubsup>+<\/mo>\u2206<\/mtext>r<\/mi>j<\/mi>2<\/mn><\/msubsup>)<\/mo><\/mspace>(<\/mo>16<\/mn>)<\/mo><\/mrow>A_{side,j}=\\frac{1}{2} \u03c0\u2219\u2206r_j\u2219\u221a(\u2206y_j^2+ \u2206r_j^2 ) \\quad(16)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n
    K<\/mi>j<\/mi>\u00b1<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msub>=<\/mo>\u03bb<\/mi>w<\/mi>(<\/mo>\u2206<\/mtext>r<\/mi>j<\/mi><\/msub>+<\/mo>\u2206<\/mtext>r<\/mi>(<\/mo><\/msub>j<\/mi>\u00b1<\/mo>1<\/mn>)<\/mo>2<\/mn><\/msup><\/mrow>2<\/mn>(<\/mo>\u2206<\/mtext>y<\/mi>j<\/mi><\/msub>+<\/mo>\u2206<\/mtext>y<\/mi>(<\/mo><\/msub>j<\/mi>\u00b1<\/mo>1<\/mn>)<\/mo><\/mrow><\/mfrac>+<\/mo>m<\/mi>j<\/mi><\/msub>C<\/mi>p<\/mi><\/msub>+<\/mo>m<\/mi>m<\/mi>i<\/mi>x<\/mi>,<\/mo>j<\/mi><\/mrow><\/msub>C<\/mi>p<\/mi><\/msub><\/mspace>(<\/mo>17<\/mn>)<\/mo><\/mrow>K_{j\u00b11}=\\frac{\u03bbw(\u2206r_j+\u2206r_(j\u00b11)\u00b2}{2(\u2206y_j+\u2206y_(j\u00b11)}+m_j C_p+m_{mix,j} C_p\t \\quad(17)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n
    S<\/mi>T<\/mi><\/msub>=<\/mo>V<\/mi>i<\/mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub>\u03c1<\/mi>w<\/mi><\/msub>C<\/mi>p<\/mi><\/msub>(<\/mo>T<\/mi>i<\/mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub>\u2212<\/mo>T<\/mi>j<\/mi><\/msub>)<\/mo><\/mspace>(<\/mo>18<\/mn>)<\/mo><\/mrow>S_T=V_{in} \u03c1_w C_p (T_{in}-T_j) \\quad(18)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

    Zaproponowano przybli\u017cone rozwi\u0105zanie analityczne, kt\u00f3re oferuje kilka korzy\u015bci w por\u00f3wnaniu z metod\u0105 numeryczn\u0105. Model rozwi\u0105zuje problem matematyczny, eliminuj\u0105c konieczno\u015b\u0107 opierania si\u0119 na niestandardowym sformu\u0142owaniu numerycznym. Ponadto rozwi\u0105zanie analityczne nie zale\u017cy od kroku czasowego, cho\u0107 wymaga iteracyjnego rozwi\u0105zywania w podprogramie w celu rozwi\u0105zania r\u00f3wna\u0144 r\u00f3\u017cniczkowych. Rozwi\u0105zanie przyjmuje form\u0119:<\/p>\n\n\n\n

    d<\/mi>T<\/mi><\/mrow>d<\/mi>t<\/mi><\/mrow><\/mfrac>=<\/mo>a<\/mi>T<\/mi>j<\/mi><\/msub>+<\/mo>b<\/mi><\/mspace>(<\/mo>19<\/mn>)<\/mo><\/mrow>\\frac{dT}{dt}=aT_j+b \\quad(19)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

    gdzie:<\/p>\n\n\n\n

    a<\/mi>=<\/mo>\u2212<\/mo>(<\/mo>K<\/mi>j<\/mi>+<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msub>+<\/mo>K<\/mi>j<\/mi>\u2212<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msub>+<\/mo>U<\/mi>B<\/mi><\/msub>A<\/mi>j<\/mi><\/msub>+<\/mo>V<\/mi>i<\/mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub>\u03c1<\/mi>w<\/mi><\/msub>C<\/mi>p<\/mi><\/msub>)<\/mo><\/mrow>V<\/mi>j<\/mi><\/msub>\u03c1<\/mi>w<\/mi><\/msub>C<\/mi>p<\/mi><\/msub><\/mrow><\/mfrac><\/mspace>(<\/mo>20<\/mn>)<\/mo><\/mrow>a= \\frac{-(K_{j+1}+K_{j-1}+U_B A_j+V_{in} \u03c1_w C_p)}{V_j \u03c1_w C_p} \\quad(20)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n
    b<\/mi>=<\/mo>(<\/mo>K<\/mi>j<\/mi>+<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msub>T<\/mi>j<\/mi>+<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msub>+<\/mo>K<\/mi>j<\/mi>\u2212<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msub>T<\/mi>j<\/mi>\u2212<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msub>+<\/mo>U<\/mi>B<\/mi><\/msub>A<\/mi>j<\/mi><\/msub>T<\/mi>B<\/mi><\/msub>+<\/mo>V<\/mi>i<\/mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub>\u03c1<\/mi>w<\/mi><\/msub>C<\/mi>p<\/mi><\/msub>T<\/mi>i<\/mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub>)<\/mo><\/mrow>V<\/mi>j<\/mi><\/msub>\u03c1<\/mi>w<\/mi><\/msub>C<\/mi>p<\/mi><\/msub><\/mrow><\/mfrac><\/mspace>(<\/mo>21<\/mn>)<\/mo><\/mrow>b=\\frac{(K_{j+1} T_{j+1}+K_{j-1} T_{j-1}+U_B A_j T_B+V_{in} \u03c1_w C_p T_{in})}{V_j \u03c1_w C_p} \\quad(21)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n
    T<\/mi>j<\/mi>t<\/mi>+<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msubsup>=<\/mo>(<\/mo>T<\/mi>j<\/mi>t<\/mi><\/msubsup>+<\/mo>b<\/mi>a<\/mi><\/mfrac>)<\/mo>\u2219<\/mo>e<\/mi>a<\/mi><\/msup>\u2206<\/mtext>t<\/mi>\u2212<\/mo>b<\/mi>a<\/mi><\/mfrac><\/mspace>(<\/mo>22<\/mn>)<\/mo><\/mrow>T_j^{t+1}=(T_j^t+\\frac{b}{a})\u2219e^a\u2206t-\\frac{b}{a} \\quad(22)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

    Podstawow\u0105 zalet\u0105 rozwi\u0105zania analitycznego jest niezale\u017cno\u015b\u0107 od kroku czasowego. W przeciwie\u0144stwie do standardowych metod numerycznych, kt\u00f3re wymagaj\u0105 precyzyjnie dobranego kroku czasowego w celu zachowania stabilno\u015bci, rozwi\u0105zanie analityczne eliminuje ten problem. Niemniej jednak, konieczne jest iteracyjne rozwi\u0105zywanie r\u00f3wna\u0144 r\u00f3\u017cniczkowych w podprogramie, aby zapewni\u0107 poprawno\u015b\u0107 wynik\u00f3w. Rozwi\u0105zanie tego r\u00f3wnania r\u00f3\u017cniczkowego jest bezpo\u015brednie w przypadku, gdy \ud835\udc4f jest sta\u0142\u0105. Je\u015bli jednak \ud835\udc4f zmienia si\u0119 w czasie, problem mo\u017cna rozwi\u0105za\u0107 przybli\u017ceniowo, zak\u0142adaj\u0105c, \u017ce warto\u015b\u0107 \ud835\udc4f jest sta\u0142a w danym kroku czasowym i r\u00f3wna jej warto\u015bci \u015bredniej. Cho\u0107 za\u0142o\u017cenie sta\u0142o\u015bci \ud835\udc4f w czasie nie jest w pe\u0142ni z rzeczywisto\u015bci\u0105, stanowi ono aproksymacj\u0119 dla ma\u0142ych krok\u00f3w czasowych. W badanym przypadku, gdzie maksymalny krok czasowy wynosi\u0142 1 godzin\u0119, podej\u015bcie to zapewni\u0142o wystarczaj\u0105c\u0105 dok\u0142adno\u015b\u0107 w symulacji du\u017cych obj\u0119to\u015bci PTES.<\/p>\n\n\n\n

    4.3. Wymiana ciep\u0142a w obszarze gruntu i izolacji (Region VI)<\/h5>\n\n\n\n

    Grunt i izolacja s\u0105 modelowane jako dwuwymiarowe siatki obliczeniowe, co oznacza, \u017ce wymiana ciep\u0142a jest opisana za pomoc\u0105 dwuwymiarowego r\u00f3wnania przewodnictwa cieplnego. Do rozwi\u0105zania tego r\u00f3wnania zastosowano metod\u0119 r\u00f3\u017cnic centralnych, w kt\u00f3rej i k odpowiadaj\u0105 numerom w\u0119z\u0142\u00f3w w kierunku promieniowym i pionowym.<\/p>\n\n\n\n

    Podstawowe r\u00f3wnanie bilansu energii dla ka\u017cdego w\u0119z\u0142a siatki numerycznej przyjmuje posta\u0107:<\/p>\n\n\n\n

    V<\/mi>i<\/mi>,<\/mo>k<\/mi><\/mrow><\/msub>\u03c1<\/mi>g<\/mi><\/msub>C<\/mi>g<\/mi><\/msub>T<\/mi>i<\/mi>,<\/mo>k<\/mi><\/mrow>t<\/mi>+<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msubsup>\u2212<\/mo>T<\/mi>i<\/mi>,<\/mo>k<\/mi><\/mrow>t<\/mi><\/msubsup><\/mrow>\u2206<\/mtext>t<\/mi><\/mrow><\/mfrac>=<\/mo>K<\/mi>y<\/mi>i<\/mi>,<\/mo>k<\/mi>+<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msubsup>(<\/mo>T<\/mi>i<\/mi>,<\/mo>k<\/mi>+<\/mo>1<\/mn><\/mrow>t<\/mi><\/msubsup>\u2212<\/mo>T<\/mi>i<\/mi>,<\/mo>k<\/mi><\/mrow>t<\/mi><\/msubsup>)<\/mo>+<\/mo>K<\/mi>y<\/mi>i<\/mi>,<\/mo>k<\/mi>\u2212<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msubsup>(<\/mo>T<\/mi>i<\/mi>,<\/mo>k<\/mi>\u2212<\/mo>1<\/mn><\/mrow>t<\/mi><\/msubsup>\u2212<\/mo>T<\/mi>i<\/mi>,<\/mo>k<\/mi><\/mrow>t<\/mi><\/msubsup>)<\/mo>+<\/mo>K<\/mi>r<\/mi>i<\/mi>+<\/mo>1<\/mn>,<\/mo>k<\/mi><\/mrow><\/msubsup>(<\/mo>T<\/mi>i<\/mi>+<\/mo>1<\/mn>,<\/mo>k<\/mi><\/mrow>t<\/mi><\/msubsup>\u2212<\/mo>T<\/mi>i<\/mi>,<\/mo>k<\/mi><\/mrow>t<\/mi><\/msubsup>)<\/mo>+<\/mo>K<\/mi>r<\/mi>i<\/mi>\u2212<\/mo>1<\/mn>,<\/mo>k<\/mi><\/mrow><\/msubsup>(<\/mo>T<\/mi>i<\/mi>\u2212<\/mo>1<\/mn>,<\/mo>k<\/mi><\/mrow>t<\/mi><\/msubsup>\u2212<\/mo>T<\/mi>i<\/mi>,<\/mo>k<\/mi><\/mrow>t<\/mi><\/msubsup>)<\/mo>+<\/mo>Q<\/mi>i<\/mi>,<\/mo>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mspace>(<\/mo>23<\/mn>)<\/mo><\/mrow>V_{i,k} \u03c1_g C_g \\frac{T_{i,k}^{t+1}-T_{i,k}^t}{\u2206t}=K_y^{i,k+1} (T_{i,k+1}^t-T_{i,k}^t)+K_y^{i,k-1} (T_{i,k-1}^t-T_{i,k}^t )+K_r^{i+1,k} (T_{i+1,k}^t-T_{i,k}^t )+ K_r^{i-1,k} (T_{i-1,k}^t-T_{i,k}^t )+Q_{i,k} \\quad(23)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

    Wzory na K i Qi<\/sub>, k r\u00f3\u017cni\u0105 si\u0119 w zale\u017cno\u015bci od regionu wymiany ciep\u0142a. Region VI jest fizycznym regionem izolacji, a og\u00f3lny op\u00f3r przewodzenia ciep\u0142a jest przedstawiony jako:<\/p>\n\n\n\n

    K<\/mi>i<\/mi>\u00b1<\/mo>1<\/mn>,<\/mo>k<\/mi><\/mrow>r<\/mi><\/msubsup>=<\/mo>(<\/mo>\u2206<\/mtext>y<\/mi>k<\/mi>+<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msub>+<\/mo>\u2206<\/mtext>y<\/mi>k<\/mi><\/msub>)<\/mo>\u2219<\/mo>\u03bb<\/mi>i<\/mi>n<\/mi>s<\/mi>\/<\/mi>g<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow>2<\/mn>l<\/mi>j<\/mi>(<\/mo>\u2206<\/mtext>r<\/mi>i<\/mi>+<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow>\u2206<\/mtext>r<\/mi>i<\/mi><\/msub><\/mrow><\/mfrac>)<\/mo><\/mrow><\/mfrac><\/mspace>(<\/mo>24<\/mn>)<\/mo><\/mrow>K_{i\\pm1,k}^r=\\frac{( \u2206y_{k+1}+\u2206y_k)\\bullet\\lambda_{ins\/g}}{2lj(\\frac{\u2206r_{i+1}}{\u2206r_i})} \\quad(24)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n
    K<\/mi>i<\/mi>\u00b1<\/mo>1<\/mn>,<\/mo>k<\/mi><\/mrow>z<\/mi><\/msubsup>=<\/mo>(<\/mo>\u2206<\/mtext>r<\/mi>i<\/mi>\u00b1<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msub>+<\/mo>\u2206<\/mtext>r<\/mi>i<\/mi><\/msub>)<\/mo>\u2219<\/mo>\u03bb<\/mi>i<\/mi>n<\/mi>s<\/mi>\/<\/mi>g<\/mi><\/mrow><\/msub>\u2219<\/mo>\u2206<\/mtext>r<\/mi>i<\/mi><\/msub><\/mrow>(<\/mo>\u2206<\/mtext>y<\/mi>k<\/mi>\u00b1<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msub>+<\/mo>\u2206<\/mtext>y<\/mi><\/mrow>)<\/mo><\/mrow><\/mfrac><\/mspace>(<\/mo>25<\/mn>)<\/mo><\/mrow>K_{i\\pm1,k}^z=\\frac{( \u2206r_{i\u00b11}+\u2206r_i)\\bullet\\lambda_{ins\/g}\\bullet\u2206r_i}{(\u2206y_{k\u00b11}+{\u2206y})} \\quad(25)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

    Wymian\u0119 ciep\u0142a pomi\u0119dzy g\u00f3rn\u0105 granic\u0105 izolacji a otoczeniem (Region VI) opisa\u0107 mo\u017cna jako:<\/p>\n\n\n\n

    Q<\/mi>i<\/mi>,<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msub>=<\/mo>h<\/mi>a<\/mi>m<\/mi><\/mrow><\/msub>\u2219<\/mo>A<\/mi>i<\/mi>,<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msub>\u2219<\/mo>(<\/mo>T<\/mi>a<\/mi>m<\/mi><\/mrow><\/msub>\u2212<\/mo>T<\/mi>i<\/mi>,<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msub>)<\/mo><\/mspace>(<\/mo>26<\/mn>)<\/mo><\/mrow>Q_{i,1}=h_{am} \\bullet A_{i,1} \\bullet (T_{am}-T_{i,1}) \\quad(26)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

    Dodatkowo, proponowane jest rozpatrzenie wymiany ciep\u0142a w kierunkach pionowym oraz poziomym wzgl\u0119dem w\u0119z\u0142a, w kt\u00f3rym wykonywane s\u0105 obliczenia. Wz\u00f3r na konwekcj\u0119 pomi\u0119dzy g\u00f3rn\u0105 powierzchni\u0105 zasobnika PTES, a otoczeniem zasobnika ma nast\u0119puj\u0105c\u0105 posta\u0107:<\/p>\n\n\n\n

    Q<\/mi>i<\/mi>,<\/mo>N<\/mi>Y<\/mi><\/mrow><\/msub>=<\/mo>U<\/mi>t<\/mi>o<\/mi>p<\/mi><\/mrow><\/msub>\u2219<\/mo>A<\/mi>i<\/mi>,<\/mo>N<\/mi>Y<\/mi><\/mrow><\/msub>\u2219<\/mo>(<\/mo>T<\/mi>t<\/mi>o<\/mi>p<\/mi><\/mrow><\/msub>\u2212<\/mo>T<\/mi>i<\/mi>,<\/mo>N<\/mi>Y<\/mi><\/mrow><\/msub>)<\/mo><\/mspace>(<\/mo>27<\/mn>)<\/mo><\/mrow>Q_{i,NY}=U_{top} \\bullet A_{i,NY} \\bullet (T_{top}-T_{i,NY}) \\quad(27)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

    gdzie:
    Utop<\/sub> \u2013 wsp\u00f3\u0142czynnik przejmowania ciep\u0142a dla g\u00f3rnej powierzchni zasobnika, W\/(m2<\/sup>\u22c5K)
    Ai,NY<\/sub> \u2013 pole powierzchni g\u00f3rnej warstwy zasobnika w kom\u00f3rce siatki i na poziomie NY, m2<\/sup>
    Ttop<\/sub> \u2013 temperatura otoczenia nad zasobnikiem ciep\u0142a, \u00b0C
    Ti,NY<\/sub> \u2013 temperatura g\u00f3rnej powierzchni zasobnika w w\u0119\u017ale i NY, \u00b0C<\/p>\n\n\n\n

    Wz\u00f3r na wymian\u0119 ciep\u0142a pomi\u0119dzy ostatni\u0105 warstw\u0105 izolacji pokrywy zasobnika, na kraw\u0119dzi zasobnika (skrajne poziome po\u0142o\u017cenie), a otoczeniem zasobnika ma nast\u0119puj\u0105c\u0105 form\u0119:<\/p>\n\n\n\n

    Q<\/mi>N<\/mi>R<\/mi>,<\/mo>k<\/mi><\/mrow><\/msub>=<\/mo>(<\/mo>log<\/mi>\u2061<\/mo><\/mrow>(<\/mo>\u0394<\/mi><\/mrow>r<\/mi>N<\/mi>R<\/mi><\/mrow><\/msub>+<\/mo>\u0394<\/mi><\/mrow>r<\/mi>N<\/mi>R<\/mi>+<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow>2<\/mn>\u0394<\/mi><\/mrow>r<\/mi>N<\/mi>R<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/mfrac><\/mstyle>)<\/mo><\/mrow><\/mrow>2<\/mn>(<\/mo>\u0394<\/mi><\/mrow>y<\/mi>k<\/mi>+<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msub>+<\/mo>\u0394<\/mi><\/mrow>y<\/mi>k<\/mi><\/msub>)<\/mo><\/mspace>\u03bb<\/mi><\/mtext>ins<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/mfrac>+<\/mo>log<\/mi>\u2061<\/mo><\/mrow>(<\/mo>2<\/mn>\u0394<\/mi><\/mrow>r<\/mi>N<\/mi>R<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow>\u0394<\/mi><\/mrow>r<\/mi>N<\/mi>R<\/mi><\/mrow><\/msub>+<\/mo>\u0394<\/mi><\/mrow>r<\/mi>N<\/mi>R<\/mi>+<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/mfrac><\/mstyle>)<\/mo><\/mrow><\/mrow>2<\/mn>(<\/mo>\u0394<\/mi><\/mrow>y<\/mi>k<\/mi>+<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msub>+<\/mo>\u0394<\/mi><\/mrow>y<\/mi>k<\/mi><\/msub>)<\/mo><\/mspace>\u03bb<\/mi>s<\/mi><\/msub><\/mrow><\/mfrac>)<\/mo><\/mrow>\u2212<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msup>\u22c5<\/mo>A<\/mi>N<\/mi>R<\/mi>,<\/mo>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mspace>(<\/mo>T<\/mi>N<\/mi>R<\/mi>+<\/mo>1<\/mn>,<\/mo>k<\/mi><\/mrow><\/msub>\u2212<\/mo>T<\/mi>N<\/mi>R<\/mi>,<\/mo>k<\/mi><\/mrow><\/msub>)<\/mo><\/mspace>(<\/mo>28<\/mn>)<\/mo><\/mrow>Q_{NR,k} =\n\\left(\n\\frac{\\log\\left(\\dfrac{\\Delta r_{NR} + \\Delta r_{NR+1}}{2\\Delta r_{NR}}\\right)}\n{2(\\Delta y_{k+1} + \\Delta y_k)\\,\\lambda_{\\mathrm{ins}}}\n+\n\\frac{\\log\\left(\\dfrac{2\\Delta r_{NR}}{\\Delta r_{NR} + \\Delta r_{NR+1}}\\right)}\n{2(\\Delta y_{k+1} + \\Delta y_k)\\,\\lambda_{s}}\n\\right)^{-1}\n\\cdot A_{NR,k}\\,(T_{NR+1,k} – T_{NR,k}) \\quad(28)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

    Powy\u017cszy wz\u00f3r bierze pod uwag\u0119 szereg po\u0142\u0105czonych opor\u00f3w przewodzenia dla izolacji oraz gleby. Dok\u0142adne opisanie strat
    ciep\u0142a poprzez region VI jest kluczowe dla oblicze\u0144 oraz prowadzonych na podstawie modelu symulacji, poniewa\u017c to pokryw\u0105 zasobnika tracona jest najwi\u0119ksza ilo\u015b\u0107 ciep\u0142a.<\/p>\n\n\n\n

    4.4. Wymiana ciep\u0142a w gruncie<\/h5>\n\n\n\n

    Zgodnie z rys. 2 i 3 wymiana ciep\u0142a w gruncie przebiega w 4 regionach (I, II, III oraz IV).<\/p>\n\n\n\n

    Region IV<\/strong> \u2013 kontakt gleby z powietrzem KNR,k<\/sub>r<\/sup>=0; KR,k<\/sub>r<\/sup>=0, za\u0142o\u017cono brak przep\u0142ywu ciep\u0142a w kierunku poziomym (promieniowym). Ki,1<\/sub>y<\/sup>=0, za\u0142o\u017cono brak przep\u0142ywu ciep\u0142a w kierunku pionowym.<\/p>\n\n\n\n

    \u2212<\/mo>\u03bb<\/mi>s<\/mi><\/msub>\u2202<\/mi>T<\/mi><\/mrow>\u2202<\/mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac>=<\/mo>h<\/mi>s<\/mi><\/msub>(<\/mo>T<\/mi>\u2212<\/mo>T<\/mi>\u221e<\/mi><\/msub>)<\/mo><\/mrow>-\\lambda_s\\frac{\\partial T}{\\partial n}=h_s(T-T_\\infty)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

    z warunk\u00f3w brzegowych Robina wyprowadzono wz\u00f3r na przenikanie ciep\u0142a z gruntu do otoczenia.<\/p>\n\n\n\n

    Region II<\/strong> \u2013 gleba bez bezpo\u015bredniego styku z zasobnikiem ciep\u0142a. KNR,k<\/sub>r<\/sup>=0; KR,k<\/sub>r<\/sup>=0, za\u0142o\u017cono brak przep\u0142ywu ciep\u0142a w kierunku poziomym. Ki,1<\/sub>y<\/sup>=0, za\u0142o\u017cono brak przep\u0142ywu ciep\u0142a w kierunku pionowym. T=Tfar<\/sub> z warunk\u00f3w brzegowych Direchleta, temperatura w g\u0142\u0119bi gruntu, bez punktu styku z zasobnikiem jest sta\u0142a. Region II jest termicznie stabilny, wahania temperatur s\u0105 pomijalnie ma\u0142e.<\/p>\n\n\n\n

    Region I<\/strong> \u2013 grunt, na kt\u00f3ry oddzia\u0142uje dno zasobnika<\/p>\n\n\n\n

    \u2212<\/mo>\u03bb<\/mi>f<\/mi><\/msub>(<\/mo>\u2202<\/mi>T<\/mi><\/mrow>\u2202<\/mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac>)<\/mo><\/mrow>f<\/mi><\/msub>=<\/mo>T<\/mi>f<\/mi><\/msub>\u2212<\/mo>T<\/mi><\/mrow>s<\/mi><\/msub><\/mrow>\u03b4<\/mi>k<\/mi><\/mfrac><\/mfrac>=<\/mo>\u03bb<\/mi>s<\/mi><\/msub>(<\/mo>\u2202<\/mi>T<\/mi><\/mrow>\u2202<\/mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac>)<\/mo><\/mrow>s<\/mi><\/msub><\/mrow>-\\lambda_f\\left(\\frac{\\partial T}{\\partial n}\\right)_f=\\frac{T_f{-T}_s}{\\frac{\\delta}{k}}=\\lambda_s\\left(\\frac{\\partial T}{\\partial n}\\right)_s<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

    wz\u00f3r na przewodzenie ciep\u0142a z dolnej warstwy zasobnika do gruntu. Warunek brzegowy Robina zapewnia uwzgl\u0119dnienie ci\u0105g\u0142o\u015bci strumienia ciep\u0142a.<\/p>\n\n\n\n

    Region III<\/strong> \u2013 grunt przy bocznej \u015bcianie zasobnika. Obliczenie wsp\u00f3\u0142czynnik\u00f3w Ki\u00b11,k<\/sub>r<\/sup>; Ki\u00b11,k<\/sub>z<\/sup> odbywa si\u0119 ze wzor\u00f3w (24) oraz (25) wykorzystywanych w przypadku regionu VI. Ze wzgl\u0119du na kszta\u0142t regionu zmienia si\u0119 r\u00f3wnanie bilansu energii. Przyjmuje ono poni\u017csz\u0105 posta\u0107:<\/p>\n\n\n\n

    V<\/mi>i<\/mi>,<\/mo>k<\/mi><\/mrow><\/msub>\u2219<\/mo>\u03c1<\/mi>g<\/mi><\/msub>\u2219<\/mo>C<\/mi>g<\/mi><\/msub>T<\/mi>i<\/mi>,<\/mo>k<\/mi><\/mrow>t<\/mi>+<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msubsup>\u2212<\/mo>T<\/mi>i<\/mi>,<\/mo>k<\/mi><\/mrow>t<\/mi><\/msubsup><\/mrow>2<\/mn>\u2206<\/mtext>t<\/mi><\/mrow><\/mfrac>=<\/mo>K<\/mi>y<\/mi>i<\/mi>,<\/mo>k<\/mi>+<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msubsup>(<\/mo>T<\/mi>i<\/mi>,<\/mo>k<\/mi>+<\/mo>1<\/mn><\/mrow>t<\/mi><\/msubsup>\u2212<\/mo>T<\/mi>i<\/mi>,<\/mo>k<\/mi><\/mrow>t<\/mi><\/msubsup>)<\/mo><\/mrow>+<\/mo>K<\/mi>r<\/mi>i<\/mi>+<\/mo>1<\/mn>,<\/mo>k<\/mi><\/mrow><\/msubsup> <\/mtext>(<\/mo>T<\/mi>i<\/mi>+<\/mo>1<\/mn>,<\/mo>k<\/mi><\/mrow>t<\/mi><\/msubsup>\u2212<\/mo>T<\/mi>i<\/mi>,<\/mo>k<\/mi><\/mrow>t<\/mi><\/msubsup>)<\/mo><\/mrow>+<\/mo>Q<\/mi>i<\/mi>,<\/mo>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow>V_{i,k} \\bullet \\rho_g \\bullet C_g \\frac{T_{i,k}^{t+1}-T_{i,k}^t}{2\u2206t} = K_y^{i,k+1}\\left(T_{i,k+1}^t-T_{i,k}^t\\right)+K_r^{i+1,k}\\ \\left(T_{i+1,k}^t-T_{i,k}^t\\right)+Q_{i,k}<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

    Zastosowano tak zwan\u0105 r\u00f3\u017cnic\u0119 w prz\u00f3d. Uwzgl\u0119dniono strumie\u0144 cieplny zar\u00f3wno w pionie, jak i poziomie oraz lokaln\u0105 strat\u0119 ciep\u0142a. W celu odwzorowania wymiany energii pomi\u0119dzy poszczeg\u00f3lnymi regionami modelu, w r\u00f3wnaniu podstawowym uwzgl\u0119dniono strumienie ciep\u0142a opisuj\u0105ce transport energii pomi\u0119dzy s\u0105siaduj\u0105cymi obszarami obliczeniowymi. Autorzy zaprezentowali odpowiednie zale\u017cno\u015bci matematyczne definiuj\u0105ce poszczeg\u00f3lne sk\u0142adowe wymiany ciep\u0142a.<\/p>\n\n\n\n

    Strumie\u0144 ciep\u0142a pomi\u0119dzy gruntem, a otoczeniem:<\/p>\n\n\n\n

    Q<\/mi>i<\/mi>,<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msub>=<\/mo>h<\/mi>a<\/mi>m<\/mi><\/mrow><\/msub>A<\/mi>i<\/mi>,<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msub>(<\/mo>T<\/mi>a<\/mi>m<\/mi><\/mrow><\/msub>\u2212<\/mo>T<\/mi>i<\/mi>,<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msub>)<\/mo><\/mrow>,<\/mo> <\/mtext>d<\/mi>l<\/mi>a<\/mi> <\/mtext>i<\/mi>=<\/mo>(<\/mo>1<\/mn>,<\/mo>R<\/mi>)<\/mo><\/mspace>(<\/mo>29<\/mn>)<\/mo><\/mrow>Q_{i,1}=h_{am}A_{i,1}\\left(T_{am}-T_{i,1}\\right),\\ dla\\ i=(1,R) \\quad(29)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

    Powy\u017cszy wz\u00f3r okre\u015bla wymian\u0119 ciep\u0142a pomi\u0119dzy warstw\u0105 gruntu, a powietrzem atmosferycznym, wykorzystano warunek brzegowy Robina, gdzie:
    ham<\/sub> \u2013 wsp\u00f3\u0142czynnik przejmowania ciep\u0142a mi\u0119dzy gleb\u0105 a powietrzem, W\/(m2<\/sup>\u22c5K)
    Ai,1<\/sub> \u2013 powierzchnia wymiany ciep\u0142a dla danego w\u0119z\u0142a siatki, m2<\/sup>
     Tam<\/sub> – temperatura otoczenia, \u00b0C
    Ti,1<\/sub> \u2013 temperatura wierzchniej warstwy gruntu, \u00b0C<\/p>\n\n\n\n

    Strumie\u0144 ciep\u0142a pomi\u0119dzy regionem III, a regionem II<\/strong>: Okre\u015blono strumie\u0144 ciep\u0142a wymieniany pomi\u0119dzy boczn\u0105 cz\u0119\u015bci\u0105 (region III) a stref\u0105 dalekiego zasi\u0119gu (far field \u2013 region II):<\/p>\n\n\n\n

    Q<\/mi>i<\/mi>,<\/mo>y<\/mi><\/mrow><\/msub>=<\/mo>2<\/mn>\u03bb<\/mi>s<\/mi><\/msub>A<\/mi>i<\/mi>,<\/mo>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow>\u2206<\/mtext>y<\/mi>Y<\/mi><\/msub>+<\/mo>\u2206<\/mtext>y<\/mi>Y<\/mi>\u2212<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/mfrac>\u2219<\/mo>A<\/mi>R<\/mi>,<\/mo>k<\/mi><\/mrow><\/msub>\u2219<\/mo>(<\/mo>T<\/mi>f<\/mi>a<\/mi>r<\/mi><\/mrow><\/msub>\u2212<\/mo>T<\/mi>R<\/mi>,<\/mo>k<\/mi><\/mrow><\/msub>)<\/mo>,<\/mo><\/mspace>d<\/mi>l<\/mi>a<\/mi> <\/mtext>k<\/mi>=<\/mo>(<\/mo>1<\/mn>,<\/mo>Y<\/mi>)<\/mo><\/mspace>(<\/mo>30<\/mn>)<\/mo><\/mrow>Q_{i,y}= \\frac{2\\lambda_sA_{i,k}}{\u2206 y_Y+\u2206 y_{Y-1}} \\bullet A_{R,k}\\bullet(T_{far}-T_{R,k}),\\quad dla \\space k=(1,Y) \\quad(30)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

    gdzie:
    \ud835\udf06\ud835\udc60 \u2013 wsp\u00f3\u0142czynnik przewodzenia cieplnego gruntu, W\/(m\u22c5K)
    rfar<\/sub> \u2013 odleg\u0142o\u015b\u0107 w osi poziomej, gdzie zak\u0142ada si\u0119 sta\u0142\u0105 temperatur\u0119 Tfar<\/sub>, m
    \u0394rR<\/sub> \u2013 odleg\u0142o\u015b\u0107 pozioma (radialna) od centrum zasobnika do w\u0119z\u0142a R, m<\/p>\n\n\n\n

    Wz\u00f3r uwzgl\u0119dnia cylindryczn\u0105 geometri\u0119 zasobnika oraz logarytmiczny charakter przewodzenia ciep\u0142a w takiej geometrii. Strumie\u0144 ciep\u0142a w g\u0142\u0105b gruntu:<\/p>\n\n\n\n

    Q<\/mi>i<\/mi>,<\/mo>y<\/mi><\/mrow><\/msub>=<\/mo>2<\/mn>\u03bb<\/mi>s<\/mi><\/msub>A<\/mi>i<\/mi>,<\/mo>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow>\u2206<\/mtext>y<\/mi>Y<\/mi><\/msub>+<\/mo>\u2206<\/mtext>y<\/mi>Y<\/mi>\u2212<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/mfrac>\u2219<\/mo>(<\/mo>T<\/mi>d<\/mi>e<\/mi>e<\/mi>p<\/mi><\/mrow><\/msub>\u2212<\/mo>T<\/mi>i<\/mi>,<\/mo>N<\/mi>Y<\/mi><\/mrow><\/msub>)<\/mo><\/mspace>(<\/mo>31<\/mn>)<\/mo><\/mrow>Q_{i,y}= \\frac{2\\lambda_sA_{i,k}}{\u2206 y_Y+\u2206 y_{Y-1}} \\bullet (T_{deep}-T_{i,NY}) \\quad(31)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

    gdzie:
    Tdeep<\/sub> \u2013 temperatura gruntu poni\u017cej zasobnika, zgodnie z warunkiem brzegowym Direchleta, temperatura w g\u0142\u0119bi gruntu jest sta\u0142a, \u00b0C
    Ti,NY<\/sub> \u2013 temperatura gruntu przy zasobniku, \u00b0C
    \u0394yY<\/sub> \u2013 wysoko\u015b\u0107 siatki w pionie, m<\/p>\n\n\n\n

    Strumie\u0144 ciep\u0142a z dna zasobnika do gruntu:<\/p>\n\n\n\n

    Q<\/mi>i<\/mi>,<\/mo>N<\/mi>y<\/mi><\/mrow><\/msub>=<\/mo>U<\/mi>b<\/mi>o<\/mi>t<\/mi><\/mrow><\/msub>A<\/mi>i<\/mi>,<\/mo>N<\/mi>y<\/mi><\/mrow><\/msub>(<\/mo>T<\/mi>b<\/mi>o<\/mi>t<\/mi><\/mrow><\/msub>\u2212<\/mo>T<\/mi>i<\/mi>,<\/mo>N<\/mi>y<\/mi><\/mrow><\/msub>)<\/mo><\/mspace>(<\/mo>32<\/mn>)<\/mo><\/mrow>Q_{i,Ny}=U_{bot}A_{i,Ny}(T_{bot}-T_{i,Ny}) \\quad(32)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

    gdzie:
    Ubot<\/sub> \u2013 wsp\u00f3\u0142czynnik przejmowania ciep\u0142a na dnie zasobnika (obejmuje konwekcj\u0119 w wodzie, przewodnictwo materia\u0142u oddzielaj\u0105cego wode z zasobnika od gruntu, przewodnictwo geow\u0142\u00f3kniny oraz przewodnictwo gruntu), W\/(m2<\/sup>\u22c5K)
    Tbot<\/sub> \u2013 temperatura wody na dnie zasobnika, \u00b0C
    Ti,NY<\/sub> \u2013 temperatura gruntu przy zasobniku, \u00b0C<\/p>\n\n\n\n

    Wz\u00f3r uwzgl\u0119dnia sprz\u0119\u017cenie ciecz-cia\u0142o sta\u0142e. Strumie\u0144 ciep\u0142a ze \u015bcian bocznych do gruntu:<\/p>\n\n\n\n

    Q<\/mi>i<\/mi>,<\/mo>k<\/mi><\/mrow><\/msub>=<\/mo>U<\/mi>s<\/mi>i<\/mi>d<\/mi>e<\/mi><\/mrow><\/msub>A<\/mi>i<\/mi>,<\/mo>k<\/mi><\/mrow><\/msub>(<\/mo>T<\/mi>s<\/mi>i<\/mi>d<\/mi>e<\/mi>,<\/mo>i<\/mi>,<\/mo>k<\/mi><\/mrow><\/msub>\u2212<\/mo>T<\/mi>i<\/mi>,<\/mo>k<\/mi><\/mrow><\/msub>)<\/mo><\/mspace>(<\/mo>33<\/mn>)<\/mo><\/mrow>Q_{i,k}=U_{side}A_{i,k}(T_{side,i,k}-T_{i,k}) \\quad(33)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

    gdzie:
    Uside<\/sub> \u2013 wsp\u00f3\u0142czynnik przejmowania ciep\u0142a dla bocznych \u015bcian zasobnika, W\/(m2<\/sup>\u22c5K)
    Tside,i,k<\/sub> \u2013 temperatura na granicy zasobnika i gruntu, \u00b0C
    Ti,k<\/sub> \u2013 temperatura gruntu w badanym w\u0119\u017ale, \u00b0C<\/p>\n\n\n\n

    Powierzchnia wymiany ciep\u0142a Aik<\/sub>:<\/p>\n\n\n\n

    A<\/mi>i<\/mi>,<\/mo>k<\/mi><\/mrow><\/msub>=<\/mo>1<\/mn>4<\/mn><\/mfrac>\u03c0<\/mi>\u2219<\/mo>(<\/mo>\u2206<\/mtext>r<\/mi>i<\/mi>+<\/mo>1<\/mn>,<\/mo>k<\/mi><\/mrow><\/msub>+<\/mo>\u2206<\/mtext>r<\/mi>i<\/mi>,<\/mo>k<\/mi><\/mrow><\/msub>)<\/mo>2<\/mn><\/msup><\/mspace>(<\/mo>34<\/mn>)<\/mo><\/mrow>A_{i,k}= \\frac{1}{4} \u03c0 \\bullet (\u2206r_{i+1,k}+\u2206r_{i,k})^2 \\quad(34)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

    Dla zasobnika o innej geometrii nale\u017cy zastosowa\u0107 wz\u00f3r na powierzchni\u0119 odpowiedniej bry\u0142y.<\/p>\n\n\n\n

    4.5. Bilans energii<\/h5>\n\n\n\n

    W celu przeprowadzenia bilansu energii autorzy opracowali zestaw zale\u017cno\u015bci opisuj\u0105cych wymian\u0119 energii pomi\u0119dzy magazynem a otaczaj\u0105cym \u015brodowiskiem. Zaproponowane r\u00f3wnania umo\u017cliwiaj\u0105 wyznaczenie energii dostarczanej i odbieranej z zasobnika, okre\u015blenie strat ciep\u0142a oraz analiz\u0119 zmian poziomu akumulacji energii w czasie. Pierwszym wzorem okre\u015bla si\u0119 ilo\u015b\u0107 energii przekazywan\u0105 lub odbieran\u0105 z magazynu ciep\u0142a w czasie jednego kroku czasowego \u0394\u03c4:<\/p>\n\n\n\n

    Q<\/mi>c<\/mi>h<\/mi>\/<\/mi>d<\/mi>i<\/mi>s<\/mi><\/mrow><\/msub>=<\/mo>\u03c1<\/mi>w<\/mi><\/msub>c<\/mi>p<\/mi><\/msub>\u0394<\/mi><\/mrow>\u03c4<\/mi>(<\/mo>V<\/mi>o<\/mi>u<\/mi>t<\/mi><\/mrow><\/msub>T<\/mi>o<\/mi>u<\/mi>t<\/mi><\/mrow><\/msub>\u2212<\/mo>V<\/mi>i<\/mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub>T<\/mi>i<\/mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub>)<\/mo><\/mspace>(<\/mo>35<\/mn>)<\/mo><\/mrow>Q_{ch\/dis}=\\rho_wc_p\\Delta\\tau(V_{out}T_{out}-V_{in}T_{in}) \\quad(35)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

    gdzie:
    \ud835\udf0c\ud835\udc64<\/sub> \u2013 g\u0119sto\u015b\u0107 wody, kg\/m3
    cp<\/sub> \u2013 ciep\u0142o w\u0142a\u015bciwe wody, J\/kgK
    \u0394\u03c4 \u2013 krok czasowy, s
    Vout<\/sub>Tout<\/sub> \u2013 obj\u0119to\u015b\u0107 i temperatura wody wyp\u0142ywaj\u0105cej z PTES, m\u00b3\/s, K
    Vin<\/sub>Tin<\/sub> \u2013 obj\u0119to\u015b\u0107 i temperatura wody wp\u0142ywaj\u0105cej do PTES, m\u00b3\/s, K<\/p>\n\n\n\n

    Nast\u0119pnym elementem s\u0105 straty ciep\u0142a z zasobnika zag\u0142\u0119bionego w gruncie typu PTES:<\/p>\n\n\n\n

    Q<\/mi>l<\/mi>o<\/mi>s<\/mi>s<\/mi><\/mrow><\/msub>=<\/mo>Q<\/mi>l<\/mi>o<\/mi>s<\/mi>s<\/mi>,<\/mo>t<\/mi>o<\/mi>p<\/mi><\/mrow><\/msub>+<\/mo>Q<\/mi>l<\/mi>o<\/mi>s<\/mi>s<\/mi>,<\/mo>s<\/mi>i<\/mi>d<\/mi>e<\/mi><\/mrow><\/msub>+<\/mo>Q<\/mi>l<\/mi>o<\/mi>s<\/mi>s<\/mi>,<\/mo>b<\/mi>o<\/mi>t<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mspace>(<\/mo>36<\/mn>)<\/mo><\/mrow>Q_{loss}=Q_{loss,top}+Q_{loss,side}+Q_{loss,bot} \\quad(36)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

    gdzie:
    Qloss,top<\/sub> \u2013 straty ciep\u0142a przez pokryw\u0119 zasobnika, W
    Qloss,side<\/sub> \u2013 straty ciep\u0142a przez powierzchni\u0119 boczn\u0105 zasobnika, W
    Qloss,bot<\/sub> \u2013 straty ciep\u0142a przez dno zasobnika, W<\/p>\n\n\n\n

    Energia zmagazynowana, w postaci energii wewn\u0119trznej cieczy magazynuj\u0105cej ciep\u0142o (wody), w danym momencie opisana jest wzorem:<\/p>\n\n\n\n

    Q<\/mi>s<\/mi>t<\/mi>o<\/mi><\/mrow><\/msub>=<\/mo>\u2211<\/mo>j<\/mi>=<\/mo>1<\/mn><\/mrow>N<\/mi><\/munderover><\/mrow>\u03c1<\/mi>w<\/mi><\/msub>c<\/mi>p<\/mi><\/msub>V<\/mi>j<\/mi><\/msub>T<\/mi>j<\/mi><\/msub><\/mrow><\/mspace>(<\/mo>37<\/mn>)<\/mo><\/mrow>Q_{sto}=\\sum_{j=1}^{N}{\\rho_wc_pV_jT_j} \\quad(37)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

    gdzie:
    N \u2013 liczba warstw (w\u0119z\u0142\u00f3w) w siatce zasobnika ciep\u0142a,
    \ud835\udf0c\ud835\udc64<\/sub> \u2013 g\u0119sto\u015b\u0107 wody, kg\/m3<\/sup>
    cp<\/sub> \u2013 ciep\u0142o w\u0142a\u015bciwe wody, J\/kgK
    Vj<\/sub> \u2013 obj\u0119to\u015b\u0107 przypisana do j-tego w\u0119z\u0142a, m3<\/sup>
    Tj<\/sub> \u2013 temperatura j-tego w\u0119z\u0142\u0105, K<\/p>\n\n\n\n

    Zmiana energii wzgl\u0119dem stanu pocz\u0105tkowego:<\/p>\n\n\n\n

    Q<\/mi>c<\/mi>h<\/mi>a<\/mi>n<\/mi>g<\/mi>e<\/mi><\/mrow><\/msub>=<\/mo>\u2211<\/mo>j<\/mi>=<\/mo>1<\/mn><\/mrow>N<\/mi><\/munderover><\/mrow>\u03c1<\/mi>w<\/mi><\/msub>c<\/mi>p<\/mi><\/msub>V<\/mi>j<\/mi><\/msub>(<\/mo>T<\/mi><\/mrow>j<\/mi>,<\/mo>n<\/mi>o<\/mi>w<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow>\u2212<\/mo>T<\/mi>j<\/mi>,<\/mo>s<\/mi>t<\/mi>a<\/mi>r<\/mi>t<\/mi><\/mrow><\/msub>)<\/mo><\/mspace>(<\/mo>38<\/mn>)<\/mo><\/mrow>Q_{change}=\\sum_{j=1}^{N}{\\rho_wc_pV_j{(T}_{j,now}}-T_{j,start}) \\quad(38)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

    gdzie:
    Tj,now<\/sub> \u2013 aktualna temperatura w\u0119z\u0142a j, \u00b0C
    Tj,start<\/sub> \u2013 temperatura pocz\u0105tkowa w\u0119z\u0142a j, \u00b0C<\/p>\n\n\n\n

    Opisany model p\u00f3\u0142analityczny stanowi zaawansowane narz\u0119dzie wykorzystywane do symulacji proces\u00f3w termodynamicznych zachodz\u0105cych w zasobnikach typu PTES. Wykorzystuje on dwuwymiarow\u0105 dyskretyzacj\u0119 domeny obliczeniowej w uk\u0142adzie cylindrycznym oraz umo\u017cliwia analiz\u0119 wymiany ciep\u0142a zar\u00f3wno w obr\u0119bie zasobnika, jak i otaczaj\u0105cego gruntu. Zaproponowane podej\u015bcie umo\u017cliwia analiz\u0119 zmian temperatury gruntu otaczaj\u0105cego zasobnika oraz wyliczenie sprawno\u015bci magazynowania ciep\u0142a, kt\u00f3ra b\u0119dzie zmienia\u0107 si\u0119 w czasie wraz z wygrzewaniem si\u0119 otaczaj\u0105cej gleby. Do podstawowych zalet modelu nale\u017cy wysoka dok\u0142adno\u015b\u0107 odwzorowania modelu, zweryfikowana dok\u0142adnymi danymi pomiarowymi zasobnika w Dronninglund. Model potwierdza, \u017ce zastosowanie uproszczenia w postaci dwuwymiarowej geometrii umo\u017cliwia uzyskanie wysokiej dok\u0142adno\u015bci przy zmniejszonych nak\u0142adach obliczeniowych. Ograniczeniem modelu pozostaje pomini\u0119cie bezpo\u015bredniego modelowania proces\u00f3w konwekcyjnych w obj\u0119to\u015bci magazynowanej wody. Powoduje to ograniczon\u0105 mo\u017cliwo\u015b\u0107 odwzorowania lokalnych zjawisk przep\u0142ywowych i szczeg\u00f3\u0142owej struktury pola temperatury podczas dynamicznych proces\u00f3w \u0142adowania i roz\u0142adowania zasobnika. Ze wzgl\u0119du na skomplikowany charakter modelu, zaleca si\u0119 stosowanie metody do proces\u00f3w optymalizacji pracy istniej\u0105cego system. Umo\u017cliwia to weryfikacj\u0119 oraz walidacj\u0119 modelu dzi\u0119ki danym pomiarowym. W zakresie projektowania, brak szczeg\u00f3\u0142owych danych wynikaj\u0105cych z pomiar\u00f3w mo\u017ce generowa\u0107 niedok\u0142adno\u015bci w obliczeniach oraz brak mo\u017cliwo\u015bci weryfikacji wynik\u00f3w symulacji.<\/p>\n\n\n\n

    5. Model numeryczny A.Tosatto<\/h3>\n\n\n\n

    Model numeryczny wielkoskalowego zasobnika do sezonowego magazynowania ciep\u0142a, opracowany w \u015brodowisku COMSOL Multiphysics. Z za\u0142o\u017cenia model ma umo\u017cliwi\u0107 szybk\u0105 ocen\u0119 efektywno\u015bci zastosowania wielkoskalowego zasobnika ciep\u0142a zag\u0142\u0119bionego w gruncie. Opracowanie opiera si\u0119 na uproszczonym modelu uwzgl\u0119dniaj\u0105cym straty ciep\u0142a, przewodzenie w gruncie oraz wp\u0142yw si\u0142 wyporu. Model mo\u017cna zastosowa\u0107 przy obliczaniach dotycz\u0105cych zasobnik\u00f3w zag\u0142\u0119bionych w gruncie typu PTES oraz TTES zag\u0142\u0119bionych w gruncie.<\/p>\n\n\n\n

    \"\"
    Rys. 4. Pogl\u0105dowy model 2-D opisywanego w [8] zasobnika ciep\u0142a
    Fig. 4. Illustrative 2-D model of the heat accumulator described in [8]<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

    Za\u0142o\u017cenia przedstawionego modelu:<\/p>\n\n\n\n