{"id":2890,"date":"2026-03-30T11:05:40","date_gmt":"2026-03-30T11:05:40","guid":{"rendered":"https:\/\/gwits.pl\/?p=2890"},"modified":"2026-09-07T11:35:44","modified_gmt":"2026-09-07T11:35:44","slug":"https-gwits-pl-1065545gwits20260302","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/gwits.pl\/en\/https-gwits-pl-1065545gwits20260302\/","title":{"rendered":"Dynamiczne zawy\u017canie wskaza\u0144 wodomierza wirnikowego wywo\u0142ane poduszk\u0105 powietrzn\u0105 w pionie instalacyjnym \u2013 studium przypadku \/ Dynamic over\u2011registration of a vane water meter induced by an air pocket in a vertical riser: a case study"},"content":{"rendered":"\n
\n\n\n\n

Witold Paleczek <\/a>\"ORCID1<\/sup>* <\/em><\/p>\n\n\n\n

Afiliacja:<\/summary>\n

1<\/sup> Wydzia\u0142 Budownictwa, Politechnika Cz\u0119stochowska
* Kontakt \/ Correspondence: witold.paleczek@pcz.pl<\/a><\/p>\n<\/details>\n\n\n\n


DOI: 10.65545\/GWITS.2026.03.02<\/strong>, GWiTS 3\/2026, marzec 2026<\/p>\n\n\n\n

Pobierz PDF<\/a> (Open Access)<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

Streszczenie:
<\/strong>Przedstawiono wp\u0142yw poduszki powietrznej powstaj\u0105cej w pionie instalacji po pracach na ni\u017cszych kondygnacjach na zawy\u017cenie wskaza\u0144 wodomierzy wirnikowych. Spr\u0119\u017cone pod licznikiem powietrze, uwi\u0119zione wskutek braku odpowietrzenia, przy nag\u0142ym otwarciu przep\u0142ywu (np. zaworu uruchamiaj\u0105cego sp\u0142uczk\u0119) gwa\u0142townie si\u0119 rozpr\u0119\u017ca i uderza w \u0142opatki wirnika, chwilowo go rozp\u0119dzaj\u0105c do czasu nap\u0142yni\u0119cia wody. Opracowano matematyczny model dynamiczny zjawiska, sprowadzony do postaci liniowej wraz z przyk\u0142adami obliczeniowymi.<\/p>\n\n\n\n

S\u0142owa kluczowe:<\/strong> przep\u0142yw powietrza przez wodomierz, zawy\u017cenie wskaza\u0144 wodomierza, wodomierz wirnikowy, przep\u0142yw impulsowy, poduszka powietrzna w instalacji, mieszanina ciecz-gaz<\/em><\/p>\n\n\n\n

Abstract:<\/strong>
The study presents the influence of an air pocket formed in a vertical water-supply riser after maintenance work on lower floors on the over-registration of vane-type water meters. Compressed air trapped beneath the meter due to insufficient venting rapidly expands when the flow is suddenly opened (e.g., by a flush valve actuator), striking the rotor blades and momentarily accelerating the impeller until water arrives and slows it down. A dynamic mathematical model of the phenomenon was developed, reduced to a linear form and supplemented with calculation examples.<\/p>\n\n\n\n

Keywords:<\/strong> air flow through water meters, water meter over-registration, vane water meter, impulsive flow, air pocket in water installations, liquid-gas mixture<\/em><\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

1. Wprowadzenie<\/h3>\n\n\n\n

W instalacjach wodoci\u0105gowych budynk\u00f3w wielokondygnacyjnych cz\u0119sto dochodzi do lokalnego opr\u00f3\u017cniania przewod\u00f3w podczas prac remontowych. Typowym scenariuszem eksploatacyjnym jest wymiana armatury na ni\u017cszej kondygnacji, wymagaj\u0105ca zamkni\u0119cia zaworu odcinaj\u0105cego i opr\u00f3\u017cnienia fragmentu pionu. W wyniku grawitacyjnego sp\u0142ywu wody w przewodzie tworz\u0105 si\u0119 liczne kieszenie powietrzne, kt\u00f3re w miar\u0119 sp\u0142ywu wody \u0142\u0105cz\u0105 si\u0119, tworz\u0105c poduszk\u0119 powietrzn\u0105. <\/p>\n\n\n\n

Je\u017celi odcinek ten znajduje si\u0119 bezpo\u015brednio pod wodomierzem wirnikowym na najwy\u017cszej kondygnacji, to po przywr\u00f3ceniu zasilania instalacji uwi\u0119zione powietrze zostaje spr\u0119\u017cone do ci\u015bnienia roboczego. U\u017cytkownik najwy\u017cszej kondygnacji, nieinformowany o prowadzonych pracach, nie wykonuje bezpiecznego odpowietrzenia instalacji, co prowadzi do czasowego zalegania poduszki powietrznej pod wodomierzem. <\/p>\n\n\n\n

Pierwsze uruchomienie zaworu nape\u0142niaj\u0105cego zbiornik sp\u0142ukuj\u0105cy powoduje nag\u0142e otwarcie przep\u0142ywu za wodomierzem. Spr\u0119\u017cone powietrze ulega szybkiemu rozpr\u0119\u017ceniu, generuj\u0105c impuls przep\u0142ywu o du\u017cej intensywno\u015bci, kt\u00f3ry chwilowo zwi\u0119ksza pr\u0119dko\u015b\u0107 obrotow\u0105 wirnika. W rezultacie wodomierz rejestruje dodatkowe obroty niewsp\u00f3\u0142mierne do rzeczywistego przep\u0142ywu wody. Zjawisko to jest trudne do zaobserwowania bezpo\u015brednio, lecz mo\u017cliwe do zarejestrowania za pomoc\u0105 rejestracji wideo.<\/p>\n\n\n\n

2. Mechanizm powstawania zjawiska <\/h3>\n\n\n\n

Opr\u00f3\u017cnienie pionu w wyniku prac na ni\u017cszej kondygnacji prowadzi do powstania poduszki powietrznej. Przywr\u00f3cenie ci\u015bnienia powoduje spr\u0119\u017cenie uwi\u0119zionego powietrza do ci\u015bnienia roboczego instalacji (np. 4\u20136 bar). Brak odpowietrzenia na najwy\u017cszej kondygnacji skutkuje utrzymaniem poduszki powietrznej bezpo\u015brednio pod wodomierzem. Pierwsze otwarcie automatycznego zaworu nape\u0142niaj\u0105cego zbiornik sp\u0142ukuj\u0105cy wywo\u0142uje gwa\u0142towne rozpr\u0119\u017cenie powietrza i impuls przep\u0142ywu. Impuls rozpr\u0119\u017caj\u0105cego si\u0119 powietrza z aerozolem wodnym powoduje gwa\u0142towne rozp\u0119dzenie wirnika i rejestracj\u0119 przep\u0142ywu przez wodomierz. Nadmierne wskazanie obejmuje: rzeczywisty przep\u0142yw wody, przep\u0142yw spr\u0119\u017conego powietrza oraz dodatkowe obroty wynikaj\u0105ce z bezw\u0142adno\u015bci wirnika przy braku oporu hydraulicznego.<\/p>\n\n\n\n

3. Czas trwania zjawiska<\/h3>\n\n\n\n

Je\u017celi prace prowadzono jedn\u0105 kondygnacj\u0119 ni\u017cej, powstaje niewielka, zwarta poduszka powietrzna; jej rozpr\u0119\u017cenie trwa 2\u20133 s. Je\u017celi prace prowadzono kilka kondygnacji ni\u017cej, w pionie gromadzi si\u0119 wi\u0119ksza obj\u0119to\u015b\u0107 powietrza, tworz\u0105 si\u0119 liczne lokalne p\u0119cherze oraz z\u0142o\u017cona, niejednorodna mieszanina ciecz\u2013gaz z aerozolem wodnym. <\/p>\n\n\n\n

Po otwarciu przep\u0142ywu obserwuje si\u0119: kolejne impulsy przep\u0142ywu, przemieszczanie i \u0142\u0105czenie p\u0119cherzyk\u00f3w oraz wielokrotne przyspieszanie i hamowanie wirnika. W efekcie dochodzi do przej\u015bciowego zaburzenia pracy wodomierza, utrzymuj\u0105cego si\u0119 przez 10\u201315 s \u2013 do czasu, a\u017c nap\u0142ywaj\u0105ca woda ustabilizuje przep\u0142yw i przywr\u00f3ci prawid\u0142owy pomiar.<\/p>\n\n\n\n

4. Rz\u0119dy wielko\u015bci nadmiarowego wskazania: 1\u2013100 dm\u00b3<\/h3>\n\n\n\n

Statyczna obj\u0119to\u015b\u0107 gazu (1\u20132 dm\u00b3) nie wyja\u015bnia obserwowanych nadwy\u017cek. Wyja\u015bnienie zapewnia model dynamiczny, uwzgl\u0119dniaj\u0105cy: impuls przep\u0142ywu rz\u0119du 1\u20132 dm\u00b3\/s, czas trwania 2\u201315 s, wielokrotne rozp\u0119dzanie wirnika, bezw\u0142adno\u015b\u0107 powoduj\u0105c\u0105 dodatkowe obroty, nieliniow\u0105 charakterystyk\u0119 wodomierza przy du\u017cych pr\u0119dko\u015bciach. W rezultacie wodomierz mo\u017ce zarejestrowa\u0107 nadmiarowe wskazanie rz\u0119du 1\u2013100 dm\u00b3, mimo \u017ce rzeczywista ilo\u015b\u0107 wody by\u0142a niewielka.<\/p>\n\n\n\n

5. Wnioski praktyczne<\/h3>\n\n\n\n

Poduszki powietrzne w pionach mog\u0105 prowadzi\u0107 do znacznych b\u0142\u0119d\u00f3w pomiarowych. Odpowietrzanie najwy\u017cszych kondygnacji po pracach instalacyjnych jest konieczne. Wodomierze mechaniczne s\u0105 szczeg\u00f3lnie podatne na impulsy przep\u0142ywu. Opisane zjawisko jest zgodne z mechanik\u0105 mieszanin ciecz-gaz oraz dynamik\u0105 wirnika wodomierza.<\/p>\n\n\n\n

6. Przegl\u0105d literatury przedmiotu <\/h3>\n\n\n\n

Zjawiska zwi\u0105zane z obecno\u015bci\u0105 uwi\u0119zionego powietrza w przewodach ci\u015bnieniowych oraz ich wp\u0142ywem na przep\u0142ywy nieustalone by\u0142y szeroko analizowane w hydraulice przep\u0142yw\u00f3w przej\u015bciowych. Klasyczne prace Berganta, Tijsselinga i wsp\u00f3\u0142autor\u00f3w [1] wykaza\u0142y, \u017ce nawet niewielkie obj\u0119to\u015bci powietrza istotnie modyfikuj\u0105 amplitud\u0119 i przebieg fal ci\u015bnienia, dzia\u0142aj\u0105c jak element spr\u0119\u017cysty zdolny do akumulacji i gwa\u0142townego uwalniania energii. Podobne wnioski przedstawili Zhou i Karney [2], kt\u00f3rzy opisali dynamiczne rozpr\u0119\u017canie poduszek powietrznych podczas nape\u0142niania przewod\u00f3w oraz generowanie kr\u00f3tkotrwa\u0142ych impuls\u00f3w przep\u0142ywu o intensywno\u015bci przekraczaj\u0105cej warto\u015bci nominalne. Autorzy podkre\u015blaj\u0105, \u017ce przep\u0142yw powietrza mo\u017ce mie\u0107 charakter pulsacyjny, a sekwencja impuls\u00f3w mo\u017ce utrzymywa\u0107 si\u0119 przez kilkana\u015bcie sekund do osi\u0105gni\u0119cia stanu ustalonego. <\/p>\n\n\n\n

W literaturze dotycz\u0105cej uderze\u0144 hydraulicznych zwraca si\u0119 uwag\u0119, \u017ce obecno\u015b\u0107 powietrza mo\u017ce zar\u00f3wno t\u0142umi\u0107, jak i wzmacnia\u0107 zjawiska nieustalone, zale\u017cnie od lokalizacji i stopnia spr\u0119\u017cenia poduszki. Ferreira, Ferras i Covas [3] wykazali, \u017ce powietrze w przewodzie stanowi aktywny element uk\u0142adu hydraulicznego, znacz\u0105co wp\u0142ywaj\u0105cy na dynamik\u0119 ci\u015bnienia i pr\u0119dko\u015bci przep\u0142ywu. Wyniki bada\u0144 eksperymentalnych Malesi\u0144skiej, Knapa, Kubraka i Kodury [4] potwierdzaj\u0105, \u017ce uwi\u0119zione powietrze mo\u017ce generowa\u0107 z\u0142o\u017cone sekwencje impuls\u00f3w przep\u0142ywu, kt\u00f3rych charakter zale\u017cy od geometrii instalacji, d\u0142ugo\u015bci opr\u00f3\u017cnionego odcinka oraz stopnia spr\u0119\u017cenia gazu. <\/p>\n\n\n\n

W kontek\u015bcie metrologii przep\u0142ywu istotne s\u0105 prace dotycz\u0105ce wp\u0142ywu przep\u0142yw\u00f3w nieustalonych na dok\u0142adno\u015b\u0107 wodomierzy mechanicznych. Wykazano, \u017ce impulsy przep\u0142ywu o du\u017cej intensywno\u015bci i kr\u00f3tkim czasie narastania mog\u0105 prowadzi\u0107 do dodatkowych obrot\u00f3w wirnika, wynikaj\u0105cych z jego bezw\u0142adno\u015bci oraz nieliniowej charakterystyki momentu nap\u0119dowego. W efekcie wodomierz rejestruje obj\u0119to\u015bci niewsp\u00f3\u0142mierne do rzeczywistego przep\u0142ywu. <\/p>\n\n\n\n

Zestawienie wynik\u00f3w bada\u0144 literaturowych wskazuje jednoznacznie, \u017ce uwi\u0119zione poduszki powietrzne w przewodach wodoci\u0105gowych mog\u0105 generowa\u0107 impulsy przep\u0142ywu o istotnym znaczeniu dla dynamiki uk\u0142adu oraz dok\u0142adno\u015bci pomiaru. Obserwacje przedstawione w niniejszym studium przypadku s\u0105 zgodne z wynikami Pozos\u2011Estrady [5], kt\u00f3ry podkre\u015bla kluczow\u0105 rol\u0119 lokalizacji poduszki powietrznej. Poduszka umiejscowiona bezpo\u015brednio pod wodomierzem wywo\u0142uje szczeg\u00f3lnie silny impuls przep\u0142ywu, dzia\u0142aj\u0105cy bezpo\u015brednio na wirnik i prowadz\u0105cy do dynamicznego zawy\u017cenia wskaza\u0144.<\/p>\n\n\n\n

7. Matematyczny liniowy model dynamiczny oddzia\u0142ywania impulsu przep\u0142ywu na wodomierz<\/h3>\n\n\n\n

W analizowanym problemie licznik zosta\u0142 zamodelowany tak, jak wirnik o pewnej bezw\u0142adno\u015bci, obracaj\u0105cy si\u0119 z pr\u0119dko\u015bci\u0105 k\u0105tow\u0105 \u03c9(t), do kt\u00f3rego dzia\u0142aj\u0105 momenty: od przep\u0142ywu medium (powietrze\/woda), straty tarcia (\u0142o\u017cyska, hamowanie magnetyczne, lepko\u015b\u0107). Zale\u017cno\u015b\u0107 (1) odpowiada standardowemu modelowi momentu hydrodynamicznego stosowanemu w przep\u0142ywomierzach turbinowych: moment przep\u0142ywu okre\u015bla zale\u017cno\u015b\u0107 [6\u20139]:<\/p>\n\n\n\n

\u03c4<\/mi>h<\/mi>y<\/mi>d<\/mi><\/mrow><\/msub> <\/mtext>(<\/mo>t<\/mi>)<\/mo>=<\/mo>k<\/mi>\u03c4<\/mi><\/msub>\u22c5<\/mo>\u03c1<\/mi>\u22c5<\/mo>v<\/mi>(<\/mo>t<\/mi>)<\/mo>2<\/mn><\/msup><\/mspace>(<\/mo>1<\/mn>)<\/mo><\/mrow>\\tau_{hyd}\\ (t)=k_\\tau\\cdot\\rho\\cdot v(t)^2 \\qquad(1)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

gdzie:
kt<\/sub><\/em> \u2013 wsp\u00f3\u0142czynnik aerodynamiczny wirnika z uwzgl\u0119dnieniem geometrii licznika, m3<\/sup>
\u03c1<\/em> \u2013 g\u0119sto\u015b\u0107 medium (powietrza\/wody), kg\/m3<\/sup>
v(t)<\/em> \u2013 pr\u0119dko\u015b\u0107 przep\u0142ywu w przekroju wirnika, m\/s<\/p>\n\n\n\n

Moment strat (uproszczony: liniowy):<\/p>\n\n\n\n

\u03c4<\/mi>s<\/mi>t<\/mi>r<\/mi><\/mrow><\/msub>=<\/mo>\u2212<\/mo>b<\/mi>\u22c5<\/mo>\u03c9<\/mi>(<\/mo>t<\/mi>)<\/mo><\/mrow><\/mspace>(<\/mo>2<\/mn>)<\/mo><\/mrow>\\tau_{str}=-b\\cdot\\omega\\left(t\\right) \\qquad(2)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

gdzie: b<\/em> – wsp\u00f3\u0142czynnik: tarcie w trakcie obrot\u00f3w [Nms].<\/p>\n\n\n\n

R\u00f3wnanie ruchu mo\u017cna okre\u015bli\u0107 wzorem:<\/p>\n\n\n\n

J<\/mi>d<\/mi>\u03c9<\/mi><\/mrow>d<\/mi>t<\/mi><\/mrow><\/mfrac>=<\/mo>\u03c4<\/mi>h<\/mi>y<\/mi>d<\/mi><\/mrow><\/msub>(<\/mo>t<\/mi>)<\/mo><\/mrow>+<\/mo>\u03c4<\/mi>s<\/mi>t<\/mi>r<\/mi><\/mrow><\/msub>(<\/mo>t<\/mi>)<\/mo><\/mrow>=<\/mo>k<\/mi>\u03c4<\/mi><\/msub>\u22c5<\/mo>\u03c1<\/mi>\u22c5<\/mo>v<\/mi>(<\/mo>t<\/mi>)<\/mo><\/mrow>2<\/mn><\/msup>\u2212<\/mo>b<\/mi>\u22c5<\/mo>\u03c9<\/mi>(<\/mo>t<\/mi>)<\/mo><\/mrow><\/mspace>(<\/mo>3<\/mn>)<\/mo><\/mrow>J\\frac{d\\omega}{dt}=\\tau_{hyd}\\left(t\\right)+\\tau_{str}\\left(t\\right)=k_\\tau\\cdot\\rho\\cdot v\\left(t\\right)^2-b\\cdot\\omega\\left(t\\right) \\qquad(3)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

Powi\u0105zanie mi\u0119dzy pr\u0119dko\u015bci\u0105 k\u0105tow\u0105 a przep\u0142ywem obj\u0119to\u015bciowym:<\/p>\n\n\n\n

Q<\/mi>(<\/mo>t<\/mi>)<\/mo><\/mrow>=<\/mo>k<\/mi>Q<\/mi><\/msub>\u22c5<\/mo>\u03c9<\/mi>(<\/mo>t<\/mi>)<\/mo><\/mrow><\/mspace>(<\/mo>4<\/mn>)<\/mo><\/mrow>Q\\left(t\\right)=k_Q\\cdot\\omega\\left(t\\right) \\qquad(4)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

gdzie: kQ<\/sub><\/em> \u2013 sta\u0142a przeliczeniowa licznika [m3<\/sup>\/obr\u00f3t].<\/p>\n\n\n\n

Obj\u0119to\u015b\u0107 zarejestrowana przez licznik:<\/p>\n\n\n\n

V<\/mi>i<\/mi>n<\/mi>d<\/mi><\/mrow><\/msub>=<\/mo>\u222b<\/mo>0<\/mn>\u221e<\/mi><\/msubsup>Q<\/mi>(<\/mo>t<\/mi>)<\/mo><\/mrow>d<\/mi>t<\/mi>=<\/mo>k<\/mi>Q<\/mi><\/msub>\u22c5<\/mo>\u222b<\/mo>0<\/mn>\u221e<\/mi><\/msubsup>\u03c9<\/mi>(<\/mo>t<\/mi>)<\/mo><\/mrow>d<\/mi>t<\/mi><\/mrow><\/mspace>(<\/mo>5<\/mn>)<\/mo><\/mrow>V_{ind}=\\int_{0}^{\\infty}{Q\\left(t\\right)dt=k_Q\\cdot\\int_{0}^{\\infty}\\omega\\left(t\\right)dt} \\qquad(5)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

Faza \u201eprzedmuchu\u201d \u2013 impuls momentu od spr\u0119\u017conego powietrza: przyjmuj\u0105c, \u017ce w odcinku rury przed licznikiem znajduje si\u0119 kiesze\u0144 spr\u0119\u017conego powietrza o obj\u0119to\u015bci Vair<\/sub><\/em> o ci\u015bnieniu pocz\u0105tkowym Po<\/sub> > Pwody<\/sub><\/em>, kt\u00f3ra w momencie otwarcia zaworu\/ruszenia przep\u0142ywu rozpr\u0119\u017ca si\u0119, generuj\u0105c impuls przep\u0142ywu powietrza przez licznik, daj\u0105c du\u017cy, kr\u00f3tkotrwa\u0142y moment na wirnik, zatem mo\u017cna przyj\u0105\u0107 uproszczony model jako impuls momentu:<\/p>\n\n\n\n

I<\/mi>\u03c4<\/mi><\/msub>=<\/mo>\u222b<\/mo>0<\/mn>T<\/mi>a<\/mi>i<\/mi>r<\/mi><\/mrow><\/msub><\/msubsup>\u03c4<\/mi>a<\/mi>i<\/mi>r<\/mi><\/mrow><\/msub>(<\/mo>t<\/mi>)<\/mo><\/mrow>d<\/mi>t<\/mi><\/mrow><\/mspace>(<\/mo>6<\/mn>)<\/mo><\/mrow>I_\\tau=\\int_{0}^{T_{air}}{\\tau_{air}\\left(t\\right)dt} \\qquad(6)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

Impuls ten powoduje skok pr\u0119dko\u015bci k\u0105towej wirnika:<\/p>\n\n\n\n

\u03c9<\/mi>0<\/mn><\/msub>=<\/mo>I<\/mi>\u03c4<\/mi><\/msub>J<\/mi><\/mfrac><\/mspace>(<\/mo>7<\/mn>)<\/mo><\/mrow>\\omega_0=\\frac{I_\\tau}{J} \\qquad(7)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

Wchodz\u0105c w faz\u0119 wygaszania, gdy ju\u017c nap\u0142ywa woda, czyli gdy przep\u0142yw maleje\/stabilizuje si\u0119 mo\u017cna wyizolowa\u0107 sam efekt przedmuchu, gdy powietrze da\u0142o impuls, wtedy zachodzi \u03c9o<\/sub><\/em> nast\u0119pnie przez kr\u00f3tki czas przyjmujemy, \u017ce dalszy moment hydrodynamiczny od powietrza jest zaniedbywalny, a licznik hamuje pod wp\u0142ywem strat, to zachodzi:<\/p>\n\n\n\n

J<\/mi>d<\/mi>\u03c9<\/mi><\/mrow>d<\/mi>t<\/mi><\/mrow><\/mfrac>=<\/mo>\u2212<\/mo>b<\/mi>\u03c9<\/mi>\u21d2<\/mo>\u03c9<\/mi>(<\/mo>t<\/mi>)<\/mo><\/mrow>=<\/mo>\u03c9<\/mi>0<\/mn><\/msub>e<\/mi>\u2212<\/mo>t<\/mi>\u03c4<\/mi><\/mfrac><\/mrow><\/msup><\/mspace>(<\/mo>8<\/mn>)<\/mo><\/mrow>J\\frac{d\\omega}{dt}=-b\\omega\\Rightarrow\\omega\\left(t\\right)=\\omega_0e^{-\\frac{t}{\\tau}} \\qquad(8)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

gdzie: \u03c4 <\/em>– sta\u0142a czasowa wygaszania obrot\u00f3w (charakterystyczny czas \u201ezwalniania obrot\u00f3w\u201d), s.<\/p>\n\n\n\n

Wk\u0142ad do zliczonej obj\u0119to\u015bci tylko z efektu przedmuchu mo\u017cna otrzyma\u0107 z zale\u017cno\u015bci:<\/p>\n\n\n\n

\u0394<\/mi><\/mrow>V<\/mi>a<\/mi>i<\/mi>r<\/mi><\/mrow><\/msub>=<\/mo>k<\/mi>Q<\/mi><\/msub>\u222b<\/mo>0<\/mn>\u221e<\/mi><\/msubsup>\u03c9<\/mi>(<\/mo>t<\/mi>)<\/mo><\/mrow>d<\/mi>t<\/mi>=<\/mo>k<\/mi>Q<\/mi><\/msub>\u222b<\/mo>0<\/mn>\u221e<\/mi><\/msubsup>\u03c9<\/mi>0<\/mn><\/msub>e<\/mi>\u2212<\/mo>t<\/mi>\u03c4<\/mi><\/mfrac><\/mrow><\/msup>d<\/mi>t<\/mi>=<\/mo>k<\/mi>Q<\/mi><\/msub>\u03c9<\/mi>0<\/mn><\/msub>\u03c4<\/mi><\/mrow><\/mrow><\/mspace>(<\/mo>9<\/mn>)<\/mo><\/mrow>\\mathrm{\\Delta}V_{air}=k_Q\\int_{0}^{\\infty}{\\omega\\left(t\\right)dt=k_Q\\int_{0}^{\\infty}{\\omega_0e^{-\\frac{t}{\\tau}}dt=k_Q\\omega_0\\tau}}\\qquad(9)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

Podstawienie (7)  do (9) prowadzi do wniosku, \u017ce nadmiarowo zarejestrowana obj\u0119to\u015b\u0107 \u0394Vair<\/sub><\/em> jest proporcjonalna do impulsu momentu od powietrza I\u03c4<\/em> oraz odwrotnie proporcjonalna do efekt\u00f3w tarcia wyra\u017conych przez parametr b<\/em>: wirnik o ma\u0142ym hamowaniu kr\u0119ci si\u0119 d\u0142u\u017cej, a wynika to z formu\u0142y okre\u015blonej wzorem:<\/p>\n\n\n\n

\u0394<\/mi><\/mrow>V<\/mi>a<\/mi>i<\/mi>r<\/mi><\/mrow><\/msub>=<\/mo>k<\/mi>Q<\/mi><\/msub>\u03c4<\/mi>I<\/mi>\u03c4<\/mi><\/msub>J<\/mi><\/mfrac>=<\/mo>k<\/mi>Q<\/mi><\/msub>J<\/mi>b<\/mi><\/mfrac>I<\/mi>\u03c4<\/mi><\/msub>J<\/mi><\/mfrac>=<\/mo>k<\/mi>Q<\/mi><\/msub>I<\/mi>\u03c4<\/mi><\/msub>b<\/mi><\/mfrac><\/mspace>(<\/mo>10<\/mn>)<\/mo><\/mrow>\\mathrm{\\Delta}V_{air}=k_Q\\tau\\frac{I_\\tau}{J}=k_Q\\frac{J}{b}\\frac{I_\\tau}{J}=k_Q\\frac{I_\\tau}{b} \\qquad(10)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

Powi\u0105zanie impulsu momentu z ci\u015bnieniem powietrza mo\u017cna uzyska\u0107 \u0142\u0105cz\u0105c ci\u015bnienie powietrza w kieszeni P0<\/sub><\/em>, przekr\u00f3j rury\/wirnika A<\/em>, promie\u0144 efektywny dzia\u0142ania si\u0142y na \u0142opatki r<\/em> oraz czas trwania przedmuchu Tair<\/sub><\/em>, co mo\u017cna opisa\u0107 \u015bredni\u0105 si\u0142\u0105 na \u0142opatkach:<\/p>\n\n\n\n

F<\/mi>a<\/mi>i<\/mi>r<\/mi><\/mrow><\/msub>\u2248<\/mo>(<\/mo>P<\/mi>0<\/mn><\/msub>\u2212<\/mo>P<\/mi>d<\/mi>o<\/mi>w<\/mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub>)<\/mo><\/mrow>\u22c5<\/mo>A<\/mi>e<\/mi>f<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mspace>(<\/mo>11<\/mn>)<\/mo><\/mrow>F_{air}\\approx\\left(P_0-P_{down}\\right)\\cdot A_{ef} \\qquad(11)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

Przy czym \u015bredni moment oraz impuls momentu mo\u017cna okre\u015bli\u0107 zale\u017cno\u015bciami:<\/p>\n\n\n\n

\u03c4<\/mi>a<\/mi>i<\/mi>r<\/mi>\u2248<\/mo>F<\/mi>a<\/mi>i<\/mi>r<\/mi>\u22c5<\/mo>r<\/mi><\/mspace>(<\/mo>12<\/mn>)<\/mo><\/mspace>o<\/mi>r<\/mi>a<\/mi>z<\/mi><\/mspace>I<\/mi>\u03c4<\/mi><\/msub>=<\/mo>\u03c4<\/mi>a<\/mi>i<\/mi>r<\/mi><\/mrow><\/msub>\u22c5<\/mo>T<\/mi>a<\/mi>i<\/mi>r<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mspace>(<\/mo>13<\/mn>)<\/mo><\/mrow>\u03c4air\u2248Fair\u22c5r\\qquad(12) \\qquad oraz\\qquad I_\\tau=\\tau_{air}\\cdot T_{air} \\qquad(13)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

Kt\u00f3re podstawione do wzoru \u0394Vair<\/sub><\/em> prowadz\u0105 do zale\u017cno\u015bci:<\/p>\n\n\n\n

\u0394<\/mi><\/mrow>V<\/mi>a<\/mi>i<\/mi>r<\/mi><\/mrow><\/msub>\u2248<\/mo>k<\/mi>Q<\/mi><\/msub>1<\/mn>b<\/mi><\/mfrac>\u22c5<\/mo>F<\/mi>a<\/mi>i<\/mi>r<\/mi><\/mrow><\/msub>\u22c5<\/mo>r<\/mi>\u22c5<\/mo>T<\/mi>a<\/mi>i<\/mi>r<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mspace>(<\/mo>14<\/mn>)<\/mo><\/mrow>\\mathrm{\\Delta}V_{air}\\approx k_Q\\frac{1}{b}\\cdot F_{air}\\cdot r\\cdot T_{air} \\qquad(14)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

W kt\u00f3rej zachodzi proporcjonalno\u015b\u0107:<\/p>\n\n\n\n

<\/mtext>\u0394V<\/mi><\/mrow>\u221d<\/mo>(<\/mo>P<\/mi>0<\/mn><\/msub>\u2212<\/mo>P<\/mi>d<\/mi>o<\/mi>w<\/mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub>)<\/mo><\/mrow>\u22c5<\/mo>T<\/mi>a<\/mi>i<\/mi>r<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mspace>(<\/mo>15<\/mn>)<\/mo><\/mrow>\\mathrm{\\Delta V}\\propto\\left(P_0-P_{down}\\right)\\cdot T_{air} \\qquad(15)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

Z powy\u017cszego wnioskujemy, i\u017c: im wi\u0119ksze nadci\u015bnienie powietrza, im d\u0142u\u017cej trwa \u201eprzedmuch\u201d, im mniejsze hamowanie licznika (je\u015bli parametr b<\/em> jest ma\u0142y), tym wi\u0119ksze zawy\u017cenie wskazania \u0394V<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

Po uwzgl\u0119dnieniu modelu ruchu wirnika okre\u015blonego wzorem (3), czyli:<\/p>\n\n\n\n

J<\/mi>d<\/mi>\u03c9<\/mi><\/mrow>d<\/mi>t<\/mi><\/mrow><\/mfrac>=<\/mo>\u03c4<\/mi>h<\/mi>y<\/mi>d<\/mi><\/mrow><\/msub>(<\/mo>t<\/mi>)<\/mo><\/mrow>+<\/mo>\u03c4<\/mi>s<\/mi>t<\/mi>r<\/mi><\/mrow><\/msub>(<\/mo>t<\/mi>)<\/mo><\/mrow>=<\/mo>k<\/mi>\u03c4<\/mi><\/msub>\u22c5<\/mo>\u03c1<\/mi>\u22c5<\/mo>v<\/mi>(<\/mo>t<\/mi>)<\/mo><\/mrow>2<\/mn><\/msup>\u2212<\/mo>b<\/mi>\u22c5<\/mo>\u03c9<\/mi>(<\/mo>t<\/mi>)<\/mo><\/mrow><\/mrow>J\\frac{d\\omega}{dt}=\\tau_{hyd}\\left(t\\right)+\\tau_{str}\\left(t\\right)=k_\\tau\\cdot\\rho\\cdot v\\left(t\\right)^2-b\\cdot\\omega\\left(t\\right)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

a nast\u0119pnie wykorzystuj\u0105c zwi\u0105zek przep\u0142ywu z ci\u015bnieniem w fazie powietrze\/woda, charakteryzuj\u0105ce si\u0119 tym, \u017ce stosujemy uproszczony model korka powietrza rozpr\u0119\u017caj\u0105cego si\u0119 w odcinku rury, mo\u017cemy przedstawi\u0107 mo\u017cliwo\u015b\u0107 modelu kalibracji, w kt\u00f3rym kQ<\/sub>, b, k\u03c4<\/sub><\/em> kalibrowane s\u0105 z test\u00f3w z kontrolowanymi przedmuchami: wtedy model przewiduje \u0394V<\/em> dla dowolnych P0<\/sub>, Tair<\/sub><\/em>.<\/p>\n\n\n\n

Je\u017celi przyjmiemy, \u017ce \u015brednie nadci\u015bnienie powietrza w okresie dzia\u0142ania na wirnik wynosi: \u0394P=P0<\/sub>-Pdown<\/sub><\/em>, efektywny przekr\u00f3j, przez kt\u00f3ry dzia\u0142a ci\u015bnienie na \u0142opatki Aef<\/sub><\/em>, a efektywny promie\u0144 dzia\u0142ania si\u0142y to ref<\/sub><\/em>, wtedy \u015brednia si\u0142a wyra\u017ca si\u0119 wzorem (16) i u\u015bredniony moment wzorem (17).<\/p>\n\n\n\n

F<\/mi>a<\/mi>i<\/mi>r<\/mi><\/mrow><\/msub>\u2248<\/mo><\/mtext>\u0394P<\/mi><\/mrow>\u22c5<\/mo>A<\/mi>e<\/mi>f<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mspace>(<\/mo>16<\/mn>)<\/mo><\/mrow>F_{air}\\approx\\mathrm{\\Delta P}\\cdot A_{ef} \\qquad(16)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n
\u03c4<\/mi>0<\/mn><\/msub>\u2248<\/mo>F<\/mi>a<\/mi>i<\/mi>r<\/mi><\/mrow><\/msub>\u22c5<\/mo>r<\/mi>e<\/mi>f<\/mi><\/mrow><\/msub>=<\/mo><\/mtext>\u0394P<\/mi><\/mrow>\u22c5<\/mo>A<\/mi>e<\/mi>f<\/mi><\/mrow><\/msub>\u22c5<\/mo>r<\/mi>e<\/mi>f<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mspace>(<\/mo>17<\/mn>)<\/mo><\/mrow>\\tau_0\\approx F_{air}\\cdot r_{ef}=\\mathrm{\\Delta P}\\cdot A_{ef}\\cdot r_{ef} \\qquad(17)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

Po podstawieniu do (14) otrzymujemy model:<\/p>\n\n\n\n

<\/mtext>\u0394V<\/mi><\/mrow>\u2248<\/mo>k<\/mi>Q<\/mi><\/msub><\/mtext>\u0394P<\/mi><\/mrow>\u22c5<\/mo>A<\/mi>e<\/mi>f<\/mi><\/mrow><\/msub>\u22c5<\/mo>r<\/mi>e<\/mi>f<\/mi><\/mrow><\/msub>\u22c5<\/mo>T<\/mi>a<\/mi>i<\/mi>r<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow>b<\/mi><\/mfrac><\/mspace>(<\/mo>18<\/mn>)<\/mo><\/mrow>\\mathrm{\\Delta V}\\approx k_Q\\frac{\\mathrm{\\Delta P}\\cdot A_{ef}\\cdot r_{ef}\\cdot T_{air}}{b} \\qquad(18)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

w kt\u00f3rym:
\u0394P<\/em> – nadci\u015bnienie powietrza, N\/m2<\/sup>
Tair<\/sub><\/em> – czas trwania przedmuchu, s<\/p>\n\n\n\n

Aef<\/sub>, ref<\/sub> ,b ,kQ<\/sub><\/em> \u2013 \u0142\u0105cznie: jako wsp\u00f3\u0142czynnik scalaj\u0105cy, lub zestaw parametr\u00f3w (Aef<\/sub> [m2<\/sup>], ref<\/sub> [m], b [kg m2<\/sup>\/s], kQ<\/sub> [m3<\/sup>]), w kt\u00f3rym warto\u015bci mo\u017cna oszacowa\u0107 z faktycznej geometrii uk\u0142adu lub potraktowa\u0107 jako empiryczne parametry dopasowywane eksperymentalnie.<\/p>\n\n\n\n

Impuls momentu hydrodynamicznego okre\u015blony wzorem (6) mo\u017cna rozpatrywa\u0107 jako model zgodny z logik\u0105 rozpr\u0119\u017cania (silny start, nast\u0119pnie s\u0142abn\u0105cy impuls), to funkcj\u0119 podca\u0142kow\u0105 mo\u017cna przyj\u0105\u0107 jako:<\/p>\n\n\n\n

\u03c4<\/mi>a<\/mi>i<\/mi>r<\/mi><\/mrow><\/msub>(<\/mo>t<\/mi>)<\/mo><\/mrow>=<\/mo>\u03c4<\/mi>\u22c5<\/mo>e<\/mi>x<\/mi>p<\/mi>(<\/mo>\u2212<\/mo>t<\/mi><\/mrow>T<\/mi><\/mfrac>)<\/mo><\/mrow><\/mrow>m<\/mi>a<\/mi>x<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mspace>(<\/mo>19<\/mn>)<\/mo><\/mrow>\\tau_{air}\\left(t\\right)={\\tau \\cdot exp{\\left(\\frac{-t}{T}\\right)}}_{max} \\qquad(19)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

gdzie:
\u03c4max<\/sub><\/em> \u2013 pocz\u0105tkowy moment od \u201euderzenia\u201d powietrza, Nm
T<\/em> \u2013 charakterystyczny czas rozpr\u0119\u017cania\/zanikania przedmuchu, s.<\/p>\n\n\n\n

Wtedy impuls mo\u017cna okre\u015bli\u0107 zale\u017cno\u015bci\u0105:<\/p>\n\n\n\n

I<\/mi>\u03c4<\/mi><\/msub>=<\/mo>\u222b<\/mo>0<\/mn>\u221e<\/mi><\/msubsup>\u03c4<\/mi>m<\/mi>a<\/mi>x<\/mi><\/mrow><\/msub>\u22c5<\/mo>e<\/mi>\u2212<\/mo>t<\/mi>\/<\/mi>T<\/mi><\/mrow><\/msup>d<\/mi>t<\/mi>=<\/mo>\u03c4<\/mi>m<\/mi>a<\/mi>x<\/mi><\/mrow><\/msub>\u22c5<\/mo>T<\/mi><\/mspace>(<\/mo>20<\/mn>)<\/mo><\/mrow>I_\\tau=\\int_{0}^{\\infty}{\\tau_{max}} \\cdot e^{-t\/T}dt=\\tau_{max}\\cdot T \\qquad(20)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

Zatem powi\u0105zanie \u03c4max<\/sub> z ci\u015bnieniem uzyskujemy z nast\u0119puj\u0105cych zale\u017cno\u015bci:<\/p>\n\n\n\n

\u0394<\/mi><\/mrow>V<\/mi>a<\/mi>i<\/mi>r<\/mi><\/mrow><\/msub>=<\/mo>k<\/mi>Q<\/mi><\/msub>I<\/mi>\u03c4<\/mi><\/msub>b<\/mi><\/mfrac>=<\/mo>k<\/mi>Q<\/mi><\/msub>\u03c4<\/mi>m<\/mi>a<\/mi>x<\/mi><\/mrow><\/msub>b<\/mi><\/mfrac><\/mspace>(<\/mo>21<\/mn>)<\/mo><\/mrow>\\mathrm{\\Delta}V_{air}=k_Q\\frac{I_\\tau}{b}=k_Q\\frac{\\tau_{max}}{b} \\qquad(21)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n
\u03c4<\/mi>m<\/mi>a<\/mi>x<\/mi><\/mrow><\/msub>\u2248<\/mo>\u0394<\/mi><\/mrow>P<\/mi><\/mrow>0<\/mn><\/msub><\/mrow>\u22c5<\/mo>A<\/mi>e<\/mi>f<\/mi><\/mrow><\/msub>\u22c5<\/mo>r<\/mi>e<\/mi>f<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mspace>(<\/mo>22<\/mn>)<\/mo><\/mrow>\\tau_{max}\\approx \\mathrm{\\Delta P_0}\\cdot A_{ef}\\cdot r_{ef} \\qquad(22)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n
\u0394<\/mi><\/mrow>V<\/mi>a<\/mi>i<\/mi>r<\/mi><\/mrow><\/msub>\u2248<\/mo>k<\/mi>Q<\/mi><\/msub><\/mtext>\u0394P<\/mi><\/mrow>\u22c5<\/mo>A<\/mi>e<\/mi>f<\/mi><\/mrow><\/msub>\u22c5<\/mo>r<\/mi>e<\/mi>f<\/mi><\/mrow><\/msub>\u22c5<\/mo>T<\/mi><\/mrow>b<\/mi><\/mfrac><\/mspace>(<\/mo>23<\/mn>)<\/mo><\/mrow>\\mathrm{\\Delta}V_{air}\\approx k_Q\\frac{\\mathrm{\\Delta P}\\cdot A_{ef}\\cdot r_{ef}\\cdot T}{b} \\qquad(23)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

Zak\u0142adaj\u0105c dla uproszczenia oblicze\u0144 model powi\u0105zany liniowo z nadci\u015bnieniem, to przy kp<\/sub><\/em> jako wsp\u00f3\u0142czynniku scalaj\u0105cym, otrzymujemy model:<\/p>\n\n\n\n

\u03c4<\/mi>m<\/mi>a<\/mi>x<\/mi><\/mrow><\/msub>\u2248<\/mo>k<\/mi>p<\/mi><\/msub>\u22c5<\/mo>\u0394<\/mi><\/mrow>P<\/mi><\/mrow>0<\/mn><\/msub><\/mrow><\/mspace>(<\/mo>24<\/mn>)<\/mo><\/mrow>\\tau_{max}\\approx k_p \\cdot\\mathrm{\\Delta P_0} \\qquad(24)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

gdzie:<\/p>\n\n\n\n

\u0394<\/mi><\/mrow>V<\/mi>a<\/mi>i<\/mi>r<\/mi><\/mrow><\/msub>=<\/mo>k<\/mi>Q<\/mi><\/msub>k<\/mi>p<\/mi><\/msub>\u0394<\/mi><\/mrow>P<\/mi>0<\/mn><\/msub>T<\/mi><\/mrow>b<\/mi><\/mfrac>=<\/mo>K<\/mi>\u22c5<\/mo>\u0394<\/mi><\/mrow>P<\/mi>0<\/mn><\/msub><\/mspace>(<\/mo>25<\/mn>)<\/mo><\/mrow>\\mathrm{\\Delta}V_{air}=k_Q\\frac{k_p\\mathrm{\\Delta}P_0T}{b}=K\\cdot\\mathrm{\\Delta}P_0 \\qquad(25)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

Przy czym wsp\u00f3\u0142czynnik K = kQ<\/sub> (kp<\/sub>T\/b) jest parametrem, kt\u00f3ry mo\u017cna wyznaczy\u0107 eksperymentalnie (np. z pr\u00f3b przy r\u00f3\u017cnych nadci\u015bnieniach powietrza): na przyk\u0142ad dla kilku r\u00f3\u017cnych poziom\u00f3w spr\u0119\u017cenia powietrza \u0394P0<\/sub><\/em> przy czym \u0394P=Probocze<\/sub>-Patmosferyczne<\/sub><\/em> (np. 0,5 bar, 1 bar, 1,5 bar nadci\u015bnienia), a dla ka\u017cdej warto\u015bci mierzymy faktyczn\u0105 obj\u0119to\u015b\u0107 wody Vreal<\/sub><\/em>, odczyt z licznika Vind<\/sub><\/em>, a z nich obliczamy \u0394<\/em>Vair<\/sub>=Vind<\/sub>-Vreal<\/sub>. Dane liczbowe dopasowujemy do prostej \u0394<\/em>Vair = K \u0394<\/em>P0<\/sub> otrzymuj\u0105c empirycznie okre\u015blony wsp\u00f3\u0142czynnik K, czyli po\u015brednio kombinacje parametr\u00f3w kQ<\/sub>, kp<\/sub>, T, b<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

Zalet\u0105 otrzymanego modelu jest rdze\u0144 fizyczny (moment od ci\u015bnienia, impuls, hamowanie), a jednocze\u015bnie prostota statystyczna otrzymanego wzoru (liniowa zale\u017cno\u015b\u0107 od \u0394<\/em>P0<\/sub>) i mo\u017cliwo\u015b\u0107 bezpo\u015bredniego u\u017cycia do korekty odczyt\u00f3w (lub odno\u015bnej argumentacji technicznej).<\/p>\n\n\n\n

Sprawdzeniem uzyskanego modelu b\u0119dzie okre\u015blenie typowych rz\u0119d\u00f3w wielko\u015bci dla ma\u0142ego licznika wirnikowego (DN15, DN20: jeden obr\u00f3t wirnika 0,5 do 2 dm3<\/sup>). Efektywn\u0105 powierzchni\u0119 dzia\u0142ania powietrza na \u0142opatki wirnika Aef<\/sub> oszacowano na podstawie typowych wymiar\u00f3w wirnika wodomierza DN15 zgodnych z norm\u0105 [10], traktuj\u0105c j\u0105 jako parametr efektywny obejmuj\u0105cy geometri\u0119 \u0142opatek i lokaln\u0105 struktur\u0119 przep\u0142ywu.<\/p>\n\n\n\n

Obliczamy:<\/p>\n\n\n\n

k<\/mi>Q<\/mi><\/msub>\u2248<\/mo>V<\/mi>n<\/mi>a<\/mi>o<\/mi><\/msub>b<\/mi>r<\/mi>o<\/mi>\u02ca<\/mo><\/mover>t<\/mi><\/mrow><\/msub>2<\/mn>\u03c0<\/mi><\/mrow><\/mfrac>\u21d2<\/mo>(<\/mo>0,5<\/mn>\u00f7<\/mo>2<\/mn>)<\/mo>\u22c5<\/mo>10<\/mn>\u2212<\/mo>4<\/mn><\/mrow><\/msup>m<\/mi>3<\/mn><\/msup>\/<\/mi>r<\/mi>a<\/mi>d<\/mi><\/mrow>k_Q\\approx \\frac{V_{na_obr\u00f3t}}{2\u03c0}\u21d2(0,5\u00f72)\u22c510^{-4}m^3\/rad<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

efektywne pole dzia\u0142ania powietrza na \u0142opatki wirnika:<\/p>\n\n\n\n

A<\/mi>e<\/mi>f<\/mi><\/mrow><\/msub>\u2248<\/mo>10<\/mn>\u2212<\/mo>5<\/mn><\/mrow><\/msup>\u00f7<\/mo>10<\/mn>\u2212<\/mo>4<\/mn><\/mrow><\/msup>m<\/mi>2<\/mn><\/msup><\/mrow>A_{ef}\\approx10^{-5}\\div10^{-4}m^2<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

efektywny promie\u0144:<\/p>\n\n\n\n

r<\/mi>e<\/mi>f<\/mi><\/mrow><\/msub>\u2248<\/mo>5<\/mn>\u22c5<\/mo>10<\/mn>\u2212<\/mo>3<\/mn><\/mrow><\/msup>\u00f7<\/mo>1<\/mn>\u22c5<\/mo>10<\/mn>\u2212<\/mo>2<\/mn><\/mrow><\/msup>m<\/mi><\/mrow>r_{ef}\\approx5\\cdot10^{-3}\\div1\\cdot10^{-2}m<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n
k<\/mi>p<\/mi><\/msub>\u2248<\/mo>A<\/mi>e<\/mi>f<\/mi><\/mrow><\/msub>\u22c5<\/mo>r<\/mi>e<\/mi>f<\/mi><\/mrow><\/msub>\u2248<\/mo>10<\/mn>\u2212<\/mo>8<\/mn><\/mrow><\/msup>\u00f7<\/mo>10<\/mn>\u2212<\/mo>6<\/mn><\/mrow><\/msup>N<\/mi>m<\/mi>\/<\/mi>P<\/mi>a<\/mi><\/mrow>k_p\\approx A_{ef}\\cdot r_{ef}\\approx10^{-8}\\div10^{-6}Nm\/Pa<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n
T<\/mi>\u2248<\/mo>0,01<\/mn>\u00f7<\/mo>0,3<\/mn>s<\/mi><\/mrow>T\\approx0,01\\div0,3s<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n
J<\/mi>\u2248<\/mo>10<\/mn>\u2212<\/mo>7<\/mn><\/mrow><\/msup>\u00f7<\/mo>10<\/mn>\u2212<\/mo>6<\/mn><\/mrow><\/msup>k<\/mi>g<\/mi>\u22c5<\/mo>m<\/mi>2<\/mn><\/msup><\/mrow>J\\approx10^{-7}\\div10^{-6}kg\\cdot m^2<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n
\u03c4<\/mi>m<\/mi>e<\/mi>c<\/mi>h<\/mi><\/mrow><\/msub>=<\/mo>J<\/mi>b<\/mi><\/mfrac>\u2248<\/mo>1<\/mn>\u00f7<\/mo>5<\/mn>s<\/mi><\/mrow>\\tau_{mech}=\\frac{J}{b}\\approx1\\div5s<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n
b<\/mi>=<\/mo>J<\/mi>\u03c4<\/mi>m<\/mi>e<\/mi>c<\/mi>h<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mfrac>\u2248<\/mo>10<\/mn>\u2212<\/mo>7<\/mn><\/mrow><\/msup>\u00f7<\/mo>10<\/mn>\u2212<\/mo>6<\/mn><\/mrow><\/msup>N<\/mi>m<\/mi>s<\/mi><\/mrow>b=\\frac{J}{\\tau_{mech}}\\approx10^{-7}\\div10^{-6}Nms<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

Zak\u0142adaj\u0105c w przyk\u0142adzie \u015brodkowe warto\u015bci empirycznych przedzia\u0142\u00f3w, tzn.: kQ<\/sub>\u224810-4<\/sup> m3<\/sup>\/rad, kp<\/sub>\u224810-7<\/sup> Nm\/Pa, T\u22480,05 s, b\u22485\u202710-7<\/sup> Nms, otrzymujemy:<\/p>\n\n\n\n

K<\/mi>=<\/mo>k<\/mi>Q<\/mi><\/msub>k<\/mi>p<\/mi><\/msub>T<\/mi><\/mrow>b<\/mi><\/mfrac>\u2248<\/mo>10<\/mn>\u2212<\/mo>4<\/mn><\/mrow><\/msup>\u22c5<\/mo>10<\/mn>\u2212<\/mo>7<\/mn><\/mrow><\/msup>\u22c5<\/mo>0,05<\/mn><\/mrow>5<\/mn>\u22c5<\/mo>10<\/mn>\u2212<\/mo>7<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac>\u2248<\/mo>10<\/mn>\u2212<\/mo>6<\/mn><\/mrow><\/msup>m<\/mi>3<\/mn><\/msup>\/<\/mi>P<\/mi>a<\/mi><\/mrow>K=k_Q\\frac{k_pT}{b}\\approx10^{-4}\\cdot\\frac{10^{-7}\\cdot0,05}{5\\cdot10^{-7}}\\approx10^{-6} m^3\/Pa<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

czyli orientacyjnie K\u224810-8<\/sup>\u00f710-6<\/sup> m3<\/sup>\/Pa przy proporcji \u0394<\/em>P0<\/sub>=1 bar=10000 Pa, otrzymuj\u0105c wynik:<\/p>\n\n\n\n

\u0394<\/mi><\/mrow>V<\/mi>a<\/mi>i<\/mi>r<\/mi><\/mrow><\/msub>\u2248<\/mo>10<\/mn>\u2212<\/mo>8<\/mn><\/mrow><\/msup>\u22c5<\/mo>10<\/mn>5<\/mn><\/msup>\u00f7<\/mo>10<\/mn>\u2212<\/mo>6<\/mn><\/mrow><\/msup>\u22c5<\/mo>10<\/mn>5<\/mn><\/msup>=<\/mo>10<\/mn>\u2212<\/mo>3<\/mn><\/mrow><\/msup>\u00f7<\/mo>10<\/mn>\u2212<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msup>m<\/mi>3<\/mn><\/msup><\/mrow>\\mathrm{\\Delta}V_{air}\\approx10^{-8}\\cdot10^5\\div10^{-6}\\cdot10^5=10^{-3}\\div10^{-1} m^3<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n
\u21d2<\/mo>V<\/mi>m<\/mi>i<\/mi>n<\/mi>a<\/mi><\/msub>i<\/mi>r<\/mi><\/mrow><\/msub>=<\/mo>1<\/mn>\u00f7<\/mo>V<\/mi>m<\/mi>a<\/mi>x<\/mi>a<\/mi><\/msub>i<\/mi>r<\/mi><\/mrow><\/msub>=<\/mo>100<\/mn>d<\/mi>m<\/mi>3<\/mn><\/msup>\/<\/mi>b<\/mi>a<\/mi>r<\/mi><\/mrow>\\Rightarrow V_{min_{a}ir}=1\\div V_{max_{a}ir}=100dm^3\/bar<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

dm3<\/sup> na ka\u017cdy bar spr\u0119\u017conego powietrza w rurach.<\/p>\n\n\n\n

Statyczny model uwzgl\u0119dniaj\u0105cy tylko geometryczn\u0105 r\u00f3\u017cnic\u0119 w obj\u0119to\u015bci spr\u0119\u017conego powietrza bez uwzgl\u0119dnienia rzeczywistego, nag\u0142ego udaru rozpr\u0119\u017caj\u0105cego si\u0119 korka powietrza prowadz\u0105cego do powstania dynamicznego impulsu na wirnik wodomierza, to model oparty jedynie na prawie Boyle\u2019a, czyli P0<\/sub>V0<\/sub>=P1<\/sub>V1<\/sub>: np. pocz\u0105tkowa obj\u0119to\u015b\u0107 poduszki na d\u0142ugo\u015bci przewodu L i \u015brednicy D:<\/p>\n\n\n\n

V<\/mi>0<\/mn><\/msub>=<\/mo>\u03c0<\/mi>D<\/mi>2<\/mn><\/msup><\/mrow>4<\/mn><\/mfrac>L<\/mi><\/mrow>V_0=\\frac{\\pi D^2}{4}L<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

po spr\u0119\u017ceniu:<\/p>\n\n\n\n

V<\/mi>1<\/mn><\/msub>=<\/mo>V<\/mi>0<\/mn><\/msub>P<\/mi>0<\/mn><\/msub>P<\/mi>1<\/mn><\/msub><\/mfrac><\/mrow>V_1=V_0\\frac{P_0}{P_1}<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

r\u00f3\u017cnica obj\u0119to\u015bci (zmniejszenie podczas spr\u0119\u017cania):<\/p>\n\n\n\n

V<\/mi>B<\/mi>O<\/mi>Y<\/mi>L<\/mi>E<\/mi>\u2032<\/mo>A<\/mi><\/mrow><\/msub>=<\/mo><\/mtext>\u0394V<\/mi><\/mrow>=<\/mo>V<\/mi>0<\/mn><\/msub>\u2212<\/mo>V<\/mi>1<\/mn><\/msub>=<\/mo>V<\/mi>0<\/mn><\/msub>(<\/mo>1<\/mn>\u2212<\/mo>P<\/mi>0<\/mn><\/msub>P<\/mi>1<\/mn><\/msub><\/mfrac>)<\/mo><\/mrow><\/mrow>V_{BOYLE\\prime A}=\\mathrm{\\Delta V}=V_0-V_1=V_0\\left(1-\\frac{P_0}{P_1}\\right)<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

obliczenie: D=25 mm=0,025 m oraz Lnp<\/sub>=27 m:<\/p>\n\n\n\n

V<\/mi>0<\/mn><\/msub>=<\/mo>\u03c0<\/mi>\u22c5<\/mo>(<\/mo>0,025<\/mn>)<\/mo><\/mrow>2<\/mn><\/msup><\/mrow>4<\/mn><\/mfrac>\u22c5<\/mo>27<\/mn>\u2248<\/mo>0,013<\/mn> <\/mtext>m<\/mi>3<\/mn><\/msup>=<\/mo>13<\/mn> <\/mtext>d<\/mi>m<\/mi>3<\/mn><\/msup><\/mrow>V_0=\\frac{\\pi\\cdot\\left(0,025\\right)^2}{4}\\cdot27\\approx0,013\\ m^3=13\\ dm^3<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

natomiast po spr\u0119\u017ceniu:<\/p>\n\n\n\n

V<\/mi>1<\/mn><\/msub>=<\/mo>V<\/mi>0<\/mn><\/msub>\u22c5<\/mo>P<\/mi>0<\/mn><\/msub>P<\/mi>1<\/mn><\/msub><\/mfrac>\u21d2<\/mo>V<\/mi>1<\/mn><\/msub>=<\/mo>0,013<\/mn>\/<\/mi>3<\/mn>\u2248<\/mo>0,004<\/mn> <\/mtext>m<\/mi>3<\/mn><\/msup><\/mrow>V_1=V_0 \\cdot \\frac{P_0}{P_1}\\Rightarrow V_1=0,013\/3\\approx0,004\\ m^3<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n
V<\/mi>B<\/mi>O<\/mi>Y<\/mi>L<\/mi>E<\/mi>\u2032<\/mo>A<\/mi><\/mrow><\/msub>=<\/mo><\/mtext>\u0394V<\/mi><\/mrow>=<\/mo>V<\/mi>0<\/mn><\/msub>\u2212<\/mo>V<\/mi>1<\/mn><\/msub>=<\/mo>V<\/mi>0<\/mn><\/msub>(<\/mo>1<\/mn>\u2212<\/mo>P<\/mi>0<\/mn><\/msub>P<\/mi>1<\/mn><\/msub><\/mfrac>)<\/mo><\/mrow>\u21d2<\/mo>V<\/mi>0<\/mn><\/msub>\u2212<\/mo>V<\/mi>1<\/mn><\/msub>=<\/mo>0,013<\/mn>\u2212<\/mo>0,004<\/mn>=<\/mo>0,009<\/mn> <\/mtext>m<\/mi>3<\/mn><\/msup>=<\/mo>9<\/mn> <\/mtext>d<\/mi>m<\/mi>3<\/mn><\/msup><\/mrow>V_{BOYLE\\prime A}=\\mathrm{\\Delta V}=V_0-V_1=V_0\\left(1-\\frac{P_0}{P_1}\\right)\\Rightarrow V_0-V_1=0,013-0,004=0,009\\ m^3=9\\ dm^3<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n

W modelu statycznym, opartym na geometrii uk\u0142adu i prawie Boyle\u2019a, lecz nieuwzgl\u0119dniaj\u0105cym energetycznego efektu udaru spr\u0119\u017conego powietrza na wirnik, otrzymujemy wynik zani\u017cony, cho\u0107 mieszcz\u0105cy si\u0119 w zakresie warto\u015bci przewidywanych przez model dynamiczny: Vmin_air<\/sub><VBOYLE’A<\/sub><Vmax_air<\/sub>. Model statyczny odtwarza jedynie pocz\u0105tkow\u0105, naj\u0142agodniejsz\u0105 faz\u0119 zjawiska: uzyskany wynik (9) mie\u015bci si\u0119 w pierwszym dekanie odpowiedzi dynamicznej (1\u2013100). Jest to konsekwencja braku uwzgl\u0119dnienia impulsu energetycznego zwi\u0105zanego z rozpr\u0119\u017caniem powietrza, kt\u00f3ry w modelu dynamicznym znacz\u0105co zwi\u0119ksza amplitud\u0119 odpowiedzi.<\/p>\n\n\n\n

Na rys. 1 przedstawiono wykres zale\u017cno\u015bci w modelu pojedynczego impulsu przep\u0142ywu Q(t) w dm\u00b3\/s oraz pr\u0119dko\u015bci k\u0105towej wirnika \u03c9(t)=w(t)<\/em> w rad\/s. W celu umo\u017cliwienia ich wsp\u00f3lnej prezentacji na jednym wykresie warto\u015bci Q(t) <\/em>przeskalowano, mno\u017c\u0105c je przez 100. Widoczny jest gwa\u0142towny impuls przep\u0142ywu powoduje szybkie przyspieszenie wirnika, a jego ruch wygasa wolniej dzi\u0119ki bezw\u0142adno\u015bci, co prowadzi do dodatkowych obrot\u00f3w i nadmiarowego wskazania wodomierza. W pierwszej fazie (0\u00f72 s) obserwuje si\u0119 gwa\u0142towny wzrost przep\u0142ywu, natomiast w fazie drugiej przep\u0142yw wygasa wyk\u0142adniczo w wyniku zaniku energii spr\u0119\u017cystej i stabilizacji warunk\u00f3w hydraulicznych.<\/p>\n\n\n\n

\"\"
Rys. 1. Por\u00f3wnanie przeskalowanego przep\u0142ywu (pomno\u017conego przez 100 w celu umo\u017cliwienia wsp\u00f3lnej prezentacji na wykresie) z impulsem przep\u0142ywu Q(t)<\/em> w dm\u00b3\/s oraz pr\u0119dko\u015bci\u0105 k\u0105tow\u0105 wirnika \u03c9(t)=w(t)<\/em> w rad\/s
Fig. 1. Comparison of the rescaled flow rate (multiplied by 100 to enable joint presentation on a single plot) with the flow impulse Q(t)<\/em> dm\u00b3\/s and the rotor angular velocity \u03c9(t) = w(t) <\/em>rad\/s<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Rys. 2 przedstawia przyk\u0142adow\u0105 sekwencj\u0119 impuls\u00f3w przep\u0142ywu Q(t)<\/em> w d\u0142ugim pionie instalacji wodoci\u0105gowej po rozpr\u0119\u017ceniu rozci\u0105gni\u0119tej poduszki powietrznej. Widoczne s\u0105 kolejne impulsy odpowiadaj\u0105ce rozpr\u0119\u017caniu lokalnych poduszek powietrza na ni\u017cszych kondygnacjach oraz stopniowe wygaszanie zjawiska.<\/p>\n\n\n\n

\"\"
Rys. 2. Sekwencja impuls\u00f3w przep\u0142ywu Q(t)<\/em> w d\u0142ugim pionie instalacji wodoci\u0105gowej po rozpr\u0119\u017ceniu rozci\u0105gni\u0119tej poduszki powietrznej
Fig. 2. Sequence of flow impulses Q(t)<\/em> in a long vertical riser of a water supply installation following the expansion of an elongated air pocket<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Dla por\u00f3wnania na rys. 2 zamieszczono przebieg wieloimpulsowy Q(t)<\/em> ukazuj\u0105cy kolejne impulsy zwi\u0105zane z rozpr\u0119\u017caniem lokalnych poduszek powietrza na ni\u017cszych kondygnacjach oraz stopniowe wygaszanie zjawiska. Na rysunku 3 przedstawiono przebieg zmian ci\u015bnienia P(t)<\/em> podczas rozpr\u0119\u017cania poduszki powietrznej. Obserwuje si\u0119 gwa\u0142towny spadek ci\u015bnienia w pierwszej fazie (0\u20132 s), natomiast w fazie drugiej nast\u0119puje \u0142agodne wygaszanie w kierunku ci\u015bnienia statycznego instalacji.<\/p>\n\n\n\n

\"\"
Rys. 3. Ci\u015bnienie P(t)<\/em>: przyk\u0142adowy przebieg ci\u015bnienia w poduszce powietrznej podczas jej rozpr\u0119\u017cania
Fig. 3. Pressure P(t)<\/em>: an example of the pressure evolution inside the air pocket during its expansion<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

8. Wnioski ko\u0144cowe<\/strong><\/h3>\n\n\n\n

Przeprowadzone studium przypadku jednoznacznie potwierdza, \u017ce obecno\u015b\u0107 uwi\u0119zionej poduszki powietrznej w pionie instalacji wodoci\u0105gowej mo\u017ce prowadzi\u0107 do istotnych zaburze\u0144 pracy wodomierza wirnikowego. Spr\u0119\u017cone powietrze dzia\u0142a jak element spr\u0119\u017cysty, zdolny do kr\u00f3tkotrwa\u0142ego magazynowania energii i jej gwa\u0142townego uwalniania podczas pierwszego otwarcia przep\u0142ywu. W efekcie powstaje impuls przep\u0142ywu o intensywno\u015bci znacznie przekraczaj\u0105cej warto\u015bci nominalne, co prowadzi do dynamicznego rozp\u0119dzenia wirnika i rejestracji dodatkowych obrot\u00f3w niewsp\u00f3\u0142miernych do rzeczywistej obj\u0119to\u015bci przep\u0142ywaj\u0105cej wody.<\/p>\n\n\n\n

Zjawisko to jest szczeg\u00f3lnie wyra\u017ane w budynkach wielokondygnacyjnych, gdzie prace instalacyjne na ni\u017cszych kondygnacjach mog\u0105 powodowa\u0107 powstanie rozci\u0105gni\u0119tej poduszki powietrznej, generuj\u0105cej sekwencj\u0119 impuls\u00f3w przep\u0142ywu trwaj\u0105c\u0105 nawet 10\u201315 s. W takich warunkach nadmiarowe wskazania wodomierza mog\u0105 osi\u0105ga\u0107 rz\u0105d 1\u2013100 dm\u00b3, mimo \u017ce rzeczywista ilo\u015b\u0107 przep\u0142ywaj\u0105cej wody pozostaje niewielka.<\/p>\n\n\n\n

Wyniki analizy wskazuj\u0105, \u017ce zjawiska nieustalone zwi\u0105zane z przep\u0142ywem mieszaniny ciecz\u2013gaz powinny by\u0107 uwzgl\u0119dniane zar\u00f3wno na etapie projektowania, jak i eksploatacji instalacji wodoci\u0105gowych. Szczeg\u00f3lne znaczenie ma staranne odpowietrzanie przewod\u00f3w po pracach serwisowych oraz \u015bwiadomo\u015b\u0107, \u017ce b\u0142\u0119dy pomiarowe wodomierzy wirnikowych mog\u0105 wynika\u0107 nie z wad urz\u0105dzenia, lecz z dynamicznych efekt\u00f3w przep\u0142ywu wywo\u0142anych obecno\u015bci\u0105 spr\u0119\u017conego powietrza.<\/p>\n\n\n\n

Przedstawione studium przypadku podkre\u015bla potrzeb\u0119 dalszych bada\u0144 nad wp\u0142ywem przep\u0142yw\u00f3w impulsowych na dok\u0142adno\u015b\u0107 wodomierzy wirnikowych oraz nad metodami ograniczania skutk\u00f3w uwi\u0119zionego powietrza w instalacjach. Uzyskane wyniki mog\u0105 stanowi\u0107 podstaw\u0119 do opracowania wytycznych eksploatacyjnych i procedur serwisowych, kt\u00f3re pozwol\u0105 zminimalizowa\u0107 ryzyko wyst\u0119powania podobnych zjawisk w praktyce.<\/p>\n\n\n\n

9. Bibliografia<\/h3>\n\n\n\n

[1] Bergant, Anton, Arris S. Tijsseling, Young\u2011il Kim, Uro\u0161 Karad\u017ei\u0107, Ling Zhou, Martin F. Lambert, and Angus R. Simpson. (2018). Unsteady pressures influenced by trapped air pockets in water-filled pipelines. Journal of Mechanical Engineering, 64(6), 351\u2013362, https:\/\/doi.org\/10.5545\/sv-jme.2018.5238<\/a><\/p>\n\n\n\n

[2] Zhou, Ling, Huan Wang, Bryan Karney, Deyou Liu, Pei Wang, and Su Guo. (2018). Dynamic Behavior of Entrapped Air Pocket in a Water Filling Pipeline. Journal of Hydraulic Engineering, 144(8), 04018036. https:\/\/doi.org\/10.1061\/(ASCE)HY.1943-7900.0001491<\/a><\/p>\n\n\n\n

[3] Ferreira, J.P., Buttarazzi, N., Ferras, D., & Covas, D.I.C. (2021). Effect of an entrapped air pocket on hydraulic transients in pressurized pipes. Journal of Hydraulic Research, 59(6), 1018\u20131030. https:\/\/doi.org\/10.1080\/00221686.2020.1862323<\/a><\/p>\n\n\n\n

[4] Malesi\u0144ska A., Knap L., Kubrak M., Kodura A. (2025). Experimental Analysis of Changes in the Behavior of a Trapped Air Pocket in a Blind Section of a Rapidly Filling Water Pipe. ISH Journal of Hydraulic Engineering, 31 (3), 497\u2013513. https:\/\/doi.org\/10.1080\/09715010.2025.2486482<\/a><\/p>\n\n\n\n

[5] PozosEstrada O. (2025). Influence of entrapped air on hydraulic transients during rapid closure of a valve located upstream and downstream of an air pocket in pressurised pipes. Water, 17 (7), 927. https:\/\/doi.org\/10.3390\/w17070927<\/a><\/p>\n\n\n\n

[6] Dixon, S. L., Hall C. (2014). Fluid mechanics and thermodynamics of turbomachinery. 7th ed. Oxford: Elsevier.<\/p>\n\n\n\n

[7] Lynnworth, L. C. (2005). Flow measurement handbook: industrial designs, operating principles, performance, and applications. Burlington, MA: Academic Press.<\/p>\n\n\n\n

[8] White F. M. (2011). Fluid mechanics. 7th ed. New York: McGraw\u2011Hill.<\/p>\n\n\n\n

[9] G\u00fclich J. F. (2010). Centrifugal pumps. 2nd ed. Berlin: Springer.<\/p>\n\n\n\n

[10] Polski Komitet Normalizacyjny. PN\u2011EN ISO 4064\u20111:2025\u201108. Water meters for cold drinking water and hot water \u2013 Part 1: Metrological and technical requirements [Wodomierze do wody zimnej pitnej i wody gor\u0105cej \u2013 Cz\u0119\u015b\u0107 1: Wymagania metrologiczne i techniczne]. Warszawa: PKN, 2025.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Witold Paleczek, GWiTS 3\/2026<\/div>\n

…<\/a><\/p>","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[17],"tags":[95],"class_list":["post-2890","post","type-post","status-publish","format-standard","category-wszystkie_artykuly","tag-3-2026"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/gwits.pl\/en\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2890","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/gwits.pl\/en\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/gwits.pl\/en\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/gwits.pl\/en\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/gwits.pl\/en\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2890"}],"version-history":[{"count":21,"href":"https:\/\/gwits.pl\/en\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2890\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3280,"href":"https:\/\/gwits.pl\/en\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2890\/revisions\/3280"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/gwits.pl\/en\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2890"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/gwits.pl\/en\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2890"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/gwits.pl\/en\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2890"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}